勾股定理经典例题透析含答案.doc
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1、经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法 1、在RtABC中,C=90 (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b= (2) 在ABC中,C=90,a=40,b=9,c= (3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2
2、CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, (的两个锐角互余) (在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . . 举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中
3、,则根据勾股定理有 . 又 (已知), . 在中,根据勾股定理有 , . 【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 A=60,B=90,E=30。 AE=2AB=8,CE=2CD=4, BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CD
4、DE=类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 解析:(1)过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得:BC=500m,AB= 由勾股定理可得: 所以 (2)在RtABC中, BC=500m,AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三
5、 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD, 与地面交于H 解:OC1米 (大门宽度一半), OD0.8米 (卡车宽度一半) 在RtOCD中,由勾股定理得: CD.米, C.(米).(米) 因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门 (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一
6、个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论 解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为 AB+BC+CD3,AB+BC+CD3 图(3)中,在RtABC中 同理 图(3)中的路线长为 图(4)中,延长EF交BC于H,则FHBC,BHCH 由FBH 及勾股定理得: EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图(4)的连接线路最短,即图(4)
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