2.初中数学竞赛试题及试题参考答案.doc
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1、初中数学竞赛试题及试题参考答案一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分以下每小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分)1、如图,有一块矩形纸片, , 将纸片折叠,使得边落在边折痕为,再将沿向右翻折,与的交点为,则的面积为( )。( A ) 2 ( B ) 4 ( C ) 6 ( D ) 8答:。解:由折叠过程知,所以是等腰直角三角形,且,所以,。 故选 。2、若 (, 是实数),则的值一定是 ( ) 。( A )正数 ( B )负数 ( C )零 ( D )整数答: 。解:
2、因为, 且 , 这三个数不能同时为,所以 。 故选 。 3、已知点是锐角三角形的内心,分别是点关于边,的对称点若点在 的外接圆上,则 等于( )。 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 答:。解:因为(为的内切圆半径),所以点同时是的外接圆的圆心。设与的交点为,则 ,所以。同理,。于是,。 故选 。4、设,则与最接近的正整数是 ( ) ( A ) 18 ( B ) 20 ( C ) 24 (D)25答: D 解:对于正整数,有,所以, 因为,所以,与最接近的正整数为。故选 。5、设, 是正整数,且满足,则等于( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 答:。解:由题设得:
3、 所以 因此。当时,由,得,这样的正整数不存在。当时,由,得,所以=28。所以,。故选B。二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6、在一个圆形时钟的表面,表示秒针, OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整,则经过_秒钟后, OAB 的面积第一次达到最大。 答: 解:设OA边上的高为,则,所以 ,当时,等号成立。此时的面积最大。设经过秒时,与第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋转0.1度,于是,解得。7、在直角坐标系中,抛物线与轴交于A,B两点,若A,B两点到原点的距离分别为,且满足,则的值等于_。答:2解:设方程的两根分别为则有 所以由,可知又所
4、以,抛物线的对称轴在轴的左侧,于是所以故解得。8、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按 A , 2 , 3 , ,J , Q , K 的顺序排列,某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层, 如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_答:第二副牌中的方块6解:根据题意,如果扑克牌的张数为 2,2,2, ,2,那么依照上述操作方法,只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张例如,手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张
5、牌现在,手中有108张牌,多出(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44 张牌,那么此时手中恰有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第88张牌按照两副扑克牌的花色排列顺序,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。9、已知 D , E 分别是 ABC 的边BC , CA 上的点,且 BD = 4,DC = l,AE = 5,EC = 2连结AD和BE ,它们相交于点P过点P分别作PQCA,PRCB,为它们分别与边AB交于点Q ,R ,则 PQR的面积与ABC的面积之比为_。答:解:过点E作EFAD,且交边BC于点F,则所以。因为
6、PQCA,所以, 于是。因为PQCA,PRCB,所以,因此PQRCAB,故。10、已知都是正整数,且=58,若的最大值为A,最小值为B,则A+B的值等于_答:494解:因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,故的最小值和最大值是存在的。不妨设若,则,且+。所以,当时,可以把逐步调整到1,这时将增大;同样地,可以把逐步调整到1,这时将增大。于是,当均为1,时,取得最大值,即。若存在两个数使得则,这说明在中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时,将减小。所以,当取到最小时,中任意两个数的差都不大于1。于是当,时,取得最小值,即。故A+B=494。三、解答题(共4题,
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