90全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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1、 (10月14日上午8001000)一选择题(本题满分30分,每小题5分)1设(,),则(cosa)cosa,(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosab0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二填空题(本题满分30分,每小题5分)1设n为自然数,a、b为正实数,且满足a+b=2,则 +的最小值是 2设A
2、(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t60),cos(2t60)为动点,则当t由15变到45时,线段AP扫过的面积是 3设n为自然数,对于任意实数x,y,z,恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立,则n的最小值是 4对任意正整数n,连结原点O与点An(n,n+3),用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点),试求f(1)+f(2)+f(1990)5设n=1990,则 (13C+32C33C+3994C3995C= 68个女孩与25个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)三(本题满分20分)已知
3、a,b均为正整数,且ab,sin=,(其中0),An=(a2+b2)nsinn求证:对于一切自然数n,An均为整数第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD相交于P,设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 OOABCDP1OOO234F来源:学|科|网二(本题满分35分)设 E=1,2,3,200, G=a1,a2,a100E且G具有下列两条性质: 对任何1ij100,恒有 ai+aj201; ai=10080试证明:G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数
4、字的平方和为一个定数三(本题满分35分)某市有n所中学,第i所中学派出Ci名代表(1Ci39,1in)来到体育馆观看球赛,全部学生总数为Ci=1990看台上每一横排有199个座位,要求同一学校的学生必须坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下1990年全国高中数学联赛解答第一试一选择题(本题满分30分,每小题5分)1设(,),则(cosa)cosa,(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cos
5、a(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosa(sina)cosa 【答案】D【解析】(,)0cossin1, (cosa)cosa(sina)cosa;(cosa)sina0但x3+y3+3=xy,等号当且仅当x3=y3=时,即x=,y=时成立故选B6已知椭圆+=1(ab0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( ) 【答案】C【解析】+=1,由a2b2,故得1+=,1b+=15故选C二填空题(本题满分30分,每小题5分)1设n为自然数,a、b为正实数,且满足a+b=2,则 +的最小值是 【答案】1【解析】ab()2=1,从而an
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