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1、1992年全国高中数学联赛试卷第一试一、选择题(每小题5分,共30分)1对于每个自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=03设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=(Si)/S,则一定满足( ) (A)
2、24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.55.54在ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),且,都是方程logx=logb(4x4)的根,则ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形5设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)126设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f
3、(20+x),则f(x)是(A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数(C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1设x,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且,成等差数列,则+的值是_2在区间0,p中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是_3从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_4设z1,z2都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则arg()3的值是_5设数列a1,a2,L,an,L满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n, 都有ana
4、n+1an+21,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是_6函数f(x)= 的最大值是_三、(20分)求证:161) 2.用数学归纳法证明: fn(x)= 第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形,H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证:H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置 二、(35分) 设集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集,把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集 1求
5、证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2求证:当n3时,Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3当n3时,求Sn的所有奇子集的容量之和三、(35分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三点不在同一条直线上试证:在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于21992年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题5分,共30分)1对于每个自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1
6、)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解:y=(n+1)x1)(nx1), |AnBn|=,于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=,选B2已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0解:(x-)=0表示y轴右边的半圆,(y+)=0表示x轴下方的半圆,故选D3设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3
7、,S4,它们的最大值为S,记=(Si)/S,则一定满足( ) (A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.55.5解: Si4S,故Si4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时,Si接近2S,故选A4在ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),且,都是方程logx=logb(4x4)的根,则ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形解:x2=4x4根为x=2 C=2A,B=1803A,sinB=2sinAsin3A=2sinA,34sin2A=2A=30,C=
8、60,B=90选B 5设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12解:=cosisin |z2|=8,z1、z2的夹角=60S=48=8选A6设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是(A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数(C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数解:f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=f(x)=f(20+x) f
9、(40+x)=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函数; f(x)=f(40x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函数选C二、填空题(每小题5分共30分)1设x,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且,成等差数列,则+的值是_ 解:16y2=15xz,y=,164x2z2=15xz(x+z)2由xz0,得=,+=2在区间0,p中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 解:7x=5x+2k,或7x=5x+2k,(kZ)x=k,x=k (kZ),共有7解3从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k
10、的最大值是 解:正方体共有8个顶点,若选出的k条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选出4条,又可以选出4条两两异面的线(如图),故所求k的最大值=44设z1,z2都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则arg()3的值是_解:cosOZ1Z3=即OZ1Z3=120, arg()=或 arg()3=5设数列a1,a2,L,an,L满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n, 都有anan+1an+21,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是_.解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3
11、,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,相减,得anan+1an+2(a4an)=an+4an,由anan+1an+21,得an+4=an又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得a4=4 a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=2006函数f(x)= 的最大值是_解:f(x)= ,表示点(x,x2)与点A(3,2)的距离及B(0,1)距离差的最大值由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的直线必与抛物线交于两点对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于|AB|=即所求最小值为三、(20分)求证:1617证明:=2()于是得2()1+2()即 161+2(1)1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)=证明: 由yfn(x)-fn1(x)= =fn+1(x)故证 f1(x)= x+,f2(x)=x2+1+x2=(x+)21=y21故命题对n=1,2 成立设对于nm(m2,m为正整数),命题成立,现证命题对于n=m+1成立1 若m为偶数,则m+1为奇数由归纳假设知,对于n=m及n=m1,有fm(x)= ymCym2+C ym4+(1)iCym2i+(