97全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、1997年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分,共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2),x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+L+xn,则下列结论正确的是(A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a(C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a2如图,正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得= (0f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(d)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 6如果空
2、间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二填空题(每小题9分,共54分)1设x,y为实数,且满足则x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数使得|AB| =的直线l恰有3条,则= .3已知复数z满足=1,则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶
3、点之一若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1,b =logx-1+log(xyz+1),c =logy+log(xyz)-1+1,记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为 三、(本题满分20分)设xyz,且x+y+z =,求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;(2)设P(-1,-1)在C2上, Q、R
4、在C1上,求顶点Q、R的坐标五、(本题满分20分)设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足其中S为实数且|S|2求证:复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、(本题50分)如图,已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点,且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证:OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。二、(本题50分)试问:当且仅当实数x0,x1,xn(n2)满足什么条件时,存在实数y0,y1,yn使得z=z+z+z成立,其中zk=xk+iyk,i为虚数单位,k=0,1,n。证明你的结论。三、(本题50分
5、)在10025的长方形表格中每一格填入一个非负实数,第i行第j列中填入的数为xi , j(i=1,2,100;j=1,2,25)(如表1)。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x1 , jx2 , jx100 , j(j=1,2,25)。(如表2)求最小的自然数k,使得只要表1中填入的数满足xi,j1(i=1,2,100),则当ik时,在表2中就能保证xi,j1成立。表1表2x1,1x1,2x1,25x1,1x1,2x1,25x2,1x2,2x2,25x2,1x2,2x2,25x100,1x100,2x100,25x100,1x100,2x100,251997年全国高中数学联
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