08全国高中数学联赛试题及答案.doc
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1、2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题,满分150分。答卷时间为100分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题,其中一道平面几何题,试卷满分150分。答卷时问
2、为120分钟。一 试一、选择题(每小题6分,共36分)1函数在上的最小值是 ( )。(A)0 (B)1 (C)2 (D)32设,若,则实数的取值范围为( )。(A) (B) (C) (D)3甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 ( )。(A) (B) (C) (D) 4若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( )。(A)764 cm3或586 cm3 (B) 764 cm3
3、 (C)586 cm3或564 cm3 (D) 586 cm35方程组的有理数解的个数为 ( )。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是( )。(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题9分,共54分)7设,其中为实数,若,则 .8设的最小值为,则 .9将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种10设数列的前项和满足:,则通项= 11设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足 ,则= .12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器
4、内壁的面积是 . 三、解答题(每小题20分,共60分)13已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证: 14解不等式第15题15如图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求面积的最小值 解 答1. 当时,因此,当且仅当时取等号而此方程有解,因此在上的最小值为2故选C.2. 因为有两个实根 ,故等价于且,即且,解之得故选D。3.方法一: 依题意知,的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有,故故选B。方法二: 依题意知,的所有可能
5、值为2、4、6.令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得, , ,因此故选B。4. 设这三个正方体的棱长分别为,则有,即。不妨设,从而,故,只能取9、8、7、6 若,则,易知,得一组解若, 则,但,即,从而或5若,则无解;若,则无解因此c=8时无解若,则,有唯一解,若,则,此时,即。故,但,所以,此时无解综上,共有两组解或,体积为(cm3)或(cm3)。故选A。5. 若,则解得或若,则由得 由得 将式代入得 由式得,代入式化简得.易知无有理数根,故,由式得,由式得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或故选B。6.设的公比为,则,而 因此,只需求的取值范围因为成等
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