97全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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1、一、选择题(每小题6分,共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2),x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+L+xn,则下列结论正确的是(A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a(C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a4在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+) (C)(0,5) (D)(5,+)5设f(x)=x2x,a = arcsin,=arctan,=arcos(),d=arccot(),则(A)
2、f()f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(d)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 6如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二填空题(每小题9分,共54分)1设x,y为实数,且满足则x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数使得|AB| =的直线l恰有3条,则= .3已知复数z满足=1,则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S、A
3、、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1,b =logx-1+log(xyz+1),c =logy+log(xyz)-1+1,记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为 三、(本题满分20分)设xyz,且x+y+z =,求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值五、(本题满分20分)设非零复数a1,a2,a
4、3,a4,a5满足其中S为实数且|S|2求证:复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试(10月5日上午10:30-12:30)来源:学科网一、(本题50分)如图,已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点,且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证:OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。求最小的自然数k,使得只要表1中填入的数满足xi,j1(i=1,2,100),则当ik时,在表2中就能保证xi,j1成立。表1来源:学科网ZXXK表2x1,1x1,2x1,25x1,1x1,2x1,25x2,1x2,2x2,25x2,1x2,2x2,25x100,1x1
5、00,2x100,25x100,1x100,2x100,251997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2),x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+L+xn,则下列结论正确的是(A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a(C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a【答案】A【解析】x1=a,x2=b,x3=ba,x4=a,x5=b,x6=ab,x7=a,x8=b,易知此数列循环,xn+6=xn,于是x100=x4=a,又x1+x2+x3+x4+x5+
6、x6=0,故S100=2ba选A3设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个【答案】C4在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+) (C)(0,5) (D)(5,+)【答案】D【解析】看成是轨迹上点到(0,1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比:=5,选D5设f(x)=x2x,a = arcsin,=arctan,=arcos(),d=arccot(),则 (A)f()f()f(d)f() (B) f()
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