2020届高考数学(文)一轮复习讲义第9章高考专题突破5第2课时定点与定值问题.docx
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1、第2课时定点与定值问题题型一定点问题例1 已知椭圆1(ab0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足1,2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若123,试证明:直线l过定点,并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又a2b2c2,a23.椭圆的标准方程为y21.(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为xt(ym),由1知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由题意y10,11.同理
2、由2知21.123,y1y2m(y1y2)0,联立得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0,且有y1y2,y1y2,代入得t2m232m2t20,(mt)21,由题意mtb0)的右顶点为A,直线y与椭圆C交于P,Q两点(P在Q的左边),Q在x轴上的射影为B,且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.若直线l过原点且与坐标轴不重合,E是直线3x3y20上一点,且EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,求k的值;若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DAAM,点G是x轴上异于点M的点,
3、且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证:点G是定点.(1)解由题意可得2c2,即c,设Q,因为四边形ABPQ为平行四边形,|PQ|2n,|AB|an,所以2nan,n,则1,解得b22,a2b2c24,可得椭圆C的方程为1.(2)解直线ykx(k0)代入椭圆方程,可得(12k2)x24,解得x,可设M,由E是3x3y20上一点,可设E,E到直线kxy0的距离为d,因为EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,所以OEMN,|OM|d,即有, (*), (*)由(*)得m(k1),代入(*)式,化简整理可得7k218k80,解得k2或.证明由M(2,0),可得直线MN的方程为yk(x2)
4、(k0),代入椭圆方程可得(12k2)x28k2x8k240,可得2xN,解得xN,yNk(xN2),即N,设G(t,0)(t2),由题意可得D(2,4k),A(2,0),以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,可得ANDG,即有0,即为(t2,4k)0,解得t0.故点G是定点,即为原点(0,0).题型二定值问题例2 如图,已知抛物线C:x24y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|
5、2|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明依题意,直线AB的斜率存在,可设AB方程为ykx2,代入x24y,得x24(kx2),即x24kx80.显然0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x28.直线AO的方程为yx;BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1,则有y2.因此D点在定直线y2上(x0).(2)解依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为yaxb(a0),代入x24y得x24(axb),即x24ax4b0.由0得(4a)216b0,化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2,y2得N1,N2的坐标为N1,N2,
6、则|MN2|2|MN1|224228,即|MN2|2|MN1|2为定值8.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2 已知点M是椭圆C:1(ab0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|4,F1MF260,F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)设N(0,2),过点P(1
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