高中数学复习资料03.docx
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1、编号 03 高中数学解题方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:ab(ab)2ab(ab)2ab;aa
2、bb(ab)ab(ab)3ab(a)(b);abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1sin212sincos(sincos);x(x)2(x)2 ; 等等。、再现性题组:1. 在正项等比数列a中,asa+2asa+aa=25,则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1,则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x5x3)的单调递增
3、区间是_。 A. (, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a_。【简解】 1小题:利用等比数列性质aaa,将已知等式左边后配方(aa)易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r,解r0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sincos)2sincos1,求出sincos,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题:答案3。、示范性题组:例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之
4、和为24,则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:。长方体所求对角线长为:5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程xkx2=0的两实根为p、q,若()+()7成立,求实数k
5、的取值范围。【解】方程xkx2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:pqk,pq2 ,()+()7, 解得k或k 。又 p、q为方程xkx2=0的两实根, k80即k2或k2综合起来,k的取值范围是:k 或者 k。【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3. 设非零复数a、b满足aabb=0,求()
6、() 。【分析】 对已知式可以联想:变形为()()10,则 (为1的立方虚根);或配方为(ab)ab 。则代入所求式即得。【解】由aabb=0变形得:()()10 ,设,则10,可知为1的立方虚根,所以:,1。又由aabb=0变形得:(ab)ab ,所以 ()()()()()()2 。【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由aabb0变形得:()()10 ,解出后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()()后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到时进行解题。假如本题没有
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