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1、第第五五章章 第第二二节节 一、选择题 1若向量 a(1,1),b(1,1),c(4,2),则 c( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b 答案 B 解析 设 cab,则(4,2)(,), 即 4,2,解得 3,1, c3aB 2(文)已知 a(4,5),b(8,y),且 ab,则 y 等于( ) A5 B10 C325 D15 答案 B 解析 ab, 4y400,得 y10. (理)已知向量 a(1,1),b(2,x),若 ab 与 4b2a 平行,则实数 x 的值是( ) A2 B0 C1 D2 答案 D 解析 考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件 ab(3,1x),4b2a
2、(6,4x2), 由题意可得 3(4x2)6(1x)0,x2. 3(文)(2014 北京高考)已知向量 a(2,4),b(1,1),则 2ab( ) A(5,7) B(5,9) C(3,7) D(3,9) 答案 A 解析 本题考查了平面向量的坐标运算 a(2,4),b(1,1), 2ab2(2,4)(1,1)(5,7) (理)(2014 福建高考)在下列向量组中,可以把向量 a(3,2)表示出来的是( ) Ae1(0,0),e2(1,2) Be1(1,2),e2(5,2) Ce1(3,5),e2(6,10) De1(2,3),e2(2,3) 答案 B 解析 一个平面内任意不共线的两个向量都可以
3、作为平面的基底,它能表示出平面内的其它向量A 中,e10,且 e2与 a 不共线;C、D 中的两个向量都是共线向量且不与 a共线,故表示不出 AB 中的两个向量不共线,可以作为平面的一组基底,故可表示出 A 4(2014 德州模拟)设OBxOAyOC,x,yR 且 A,B,C 三点共线(该直线不过点O),则 xy( ) A1 B1 C0 D2 答案 B 解析 如图,设ABAC, 则OBOAABOAAC OA(OCOA) OAOCOA (1)OAOC x1,y,xy1. 5(文)已知点 A(2,1),B(0,2),C(2,1),O(0,0),给出下面的结论: 直线 OC 与直线 BA 平行;AB
4、BCCA; OAOCOB;ACOB2OA. 其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 OC(2,1),BA(2,1), OCBA,OCBA. 又由坐标知点 O,C,A,B 不共线, OCBA,正确; ABBCAC,错误; OAOC(0,2)OB,正确; OB2OA(4,0),AC(4,0), 正确故选 C (理)如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是( ) AACABAD BBDADAB CAO12AB12AD DAE53ABAD 答案 D 解析 由向量加法的
5、三角形法则知: BDADAB正确,排除 B; 由向量加法的平行四边形法则知: ACABAD, AO12AC12AB12AD,排除 A,C,故选 D 6设 a 是已知的平面向量且 a0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: 给定向量 b,总存在向量 c,使 abc; 给定向量 b 和 c,总存在实数 和 ,使 abc; 给定向量 b 和正数 ,总存在单位向量 c,使 abC 给定正数 和 ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 abC 上述命题中的向量 b、c 和 a 在同一平面内,且两两不共线,则真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 对于, 由向量的三角形加法法则可
6、知其正确; 由平面向量基本定理知正确;对,可设 e 与 b 是不共线单位向量,则存在实数 ,y 使 abye,若 y0,则取 y,ce,若 y0,则取 y,ce,故正确;显然错误,给定正数 和 ,不一定满足“以|a|,|b|,|c|为三边长可以构成一个三角形”,这里单位向量 b 和 c 就不存在可举反例:1,b 与 c 垂直,此时必须 a 的模为 2才成立 二、填空题 7已知向量 a(2x1,4),b(2x,3),若 ab,则实数 x 的值等于_ 答案 12 解析 ab,3(2x1)4(2x)0,x12. 8(2014 陕西高考)设 02,向量 a(sin2,cos),b(cos,1),若 a
7、b,则 tan_. 答案 12 解析 本题考查向量共线,倍角公式 ab,sin2cos2, 2sincoscos2,即sincostan12. 9e1,e2 是不共线向量,且 ae13e2,b4e12e2,c3e112e2,若 b,c 为一组基底,则 a_. 答案 118b727c 解析 设 a1b2c, 则e13e21(4e12e2)2(3e112e2), 即e13e2(4132)e1(21122)e2, 41321,211223,解得 1118,2727, a118b727C 三、解答题 10已知 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OMt1OAt2AB. (1)求点 M 在第二或
8、第三象限的充要条件; (2)求证:当 t11 时,不论 t2为何实数,A、B、M 三点都共线 解析 (1)OMt1OAt2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 当点 M 在第二或第三象限时, 有 4t20,2t14t20,故所求的充要条件为 t20 且 t12t20. (2)证明:当 t11 时,由(1)知OM(4t2,4t22), ABOBOA(4,4),AMOMOA(4t2,4t2)t2(4,4)t2AB, 又AB、AM 有公共点 A,A、B、M 三点共线. 一、选择题 1ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、C设向量 p(ac,b),q(ba,ca)
9、若 pq,则角 C 的大小为( ) A6 B3 C2 D23 答案 B 解析 pq,(ac)(ca)b(ba), 即 aba2b2c2,cosCa2b2c22ab12, 又C(0,),C3,故选 B 2O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OPOA(ABAC),0,),则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B垂心 C内心 D重心 答案 D 解析 OPOA(ABAC), OPOA(ABAC),0,), AP(ABAC), P 在 BC 边的中线上 故 P 的轨迹通过ABC 的重心,故选 D 二、填空题 3若三点 A(2,2),B(0,m),C(n,0)(
10、mn0)共线,则1m1n的值为_ 答案 12 解析 解法 1:设 BC 方程为ymxn1, A、B、C 共线, 2m2n1, 1m1n12. 解法 2:A、B、C 共线, ABAC, AB(2,m2),AC(n2,2), 4(m2)(n2)0, mn2m2n0, mn0,1m1n12. 4已知向量集合 Ma|a(1,2)(3,4),R,Nb|b(2,2)(4,5),R,则 MN_. 答案 (2,2) 解析 由(1,2)1(3,4)(2,2)2(4,5), 由 131242241252, 解得 1120,MN(2,2) 三、解答题 5在ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且CP23CA13CB
11、,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP的交点为 M,又CMtCP,试求 t 的值 解析 CP23CA13CB, 3CP2CACB, 即 2CP2CACBCP,2APPB, 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A), 如图所示, A,M,Q 三点共线, 设CMxCQ(1x)CAx2CB(x1)AC, 而CBABAC,CMx2AB(x21)AC. 又CPAPAC13ABAC, 由已知CMtCP可得, x2AB(x21)ACt(13ABAC), x2t3,x21t,解得 t34. 6如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 和 OB 交点 P 的坐标 解析 解法 1:设 P(x,y),则OP(x,y), OP,OB共线,OB(4,4), 4x4y0. 又CP(x2,y6),CA(2,6), 且向量CP,CA共线, 6(x2)2(6y)0. 解由组成的方程组,得 x3,y3, 点 P 的坐标为(3,3) 解法 2:设OPtOBt(4,4)(4t,4t),则APOPOA(4t,4t)(4,0)(4t4,4t), AC(2,6)(4,0)(2,6) 由AP,AC共线的充要条件知 (4t4)64t(2)0, 解得 t34,OP(4t,4t)(3,3), P 点坐标为(3,3)