高考数学大二轮专题复习第二编立体几何中的向量方法.doc
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1、新高考二轮复习数学(新课程版) 第 3 讲 立体几何中的向量方法 考情研析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为线面角、二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 核心知识回顾 1.线、面的位置关系与向量的关系 设直线 l,m 的方向向量分别为 a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),平面 ,的法向量分别为 (a3,b3,c3),v(a4,b4,c4) (1)lmabakb01a1ka2,b1kb2,c1kc2; (2)lmaba b02003a1a2b1b2c1c20; (3)laa04005a
2、1a3b1b3c1c30; (4)laak06a1ka3,b1kb3,c1kc3; (5)vkv07a3ka4,b3kb4,c3kc4; (6)vv08009a3a4b3b4c3c40. 2三种空间角与空间向量的关系 (1)线线角:设 a,b 分别为异面直线 a,b 的方向向量,则两异面直线所成的角 满足 cos01|a b|a|b|. (2)线面角:设 l 是斜线 l 的方向向量,n 是平面 的法向量,则斜线 l 与平面 所成的角 满足 sin02|l n|l|n|. (3)二面角 如图(),AB,CD 是二面角 l 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 03AB,CD ; 新
3、高考二轮复习数学(新课程版) 如图()(),n1,n2分别是二面角 l 的两个半平面 , 的法向量,则二面角的大小 满足 cos04cosn1,n2或 cosn1,n2 热点考向探究 考向 1 利用向量证明平行与垂直 例 1 (1)(多选)(2020 山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB2 3,ADAA12,P,Q,R 分别是 AB,BB1,A1C 上的动点,下列结论正确的是( ) A对于任意给定的点 P,存在点 Q 使得 D1PCQ B对于任意给定的点 Q,存在点 R 使得 D1RCQ C当 ARA1C 时,ARD1R D当 A1C3A1R
4、时,D1R平面 BDC1 答案 ABD 解析 如图所示, 建立空间直角坐标系, 设 P(2, a,0), a0,2 3, Q(2,2 3,b),b0,2,设A1RA1C,得到 R(22,2 3,22),0,1.D1P(2,a,2),CQ(2,0,b),D1P CQ42b,当 b2 时,D1PCQ,A 正确;D1R(22,2 3,2),D1R CQ2(22)2b,取 22b时,D1RCQ,B新高考二轮复习数学(新课程版) 正确;由 ARA1C,则AR A1C(2,2 3,22) (2,2 3,2)412440,解得 15,此时AR D1R25,2 35,8585,2 35,25450,C 错误;
5、由 A1C3A1R,则 R43,2 33,43,D1R43,2 33,23,设平面 BDC1的法向量为 n(x,y,z),则 n BD0,n DC10,解得 n( 3,1, 3),故D1R n0,故 D1R平面 BDC1,D 正确故选 ABD. (2)如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,AB4,BCCD2,AA12,E,E1分别是棱 AD,AA1的中点 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 E1E平面 FCC1; 证明:平面 D1AC平面 BB1C1C. 证明 如图,过点 D 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,则以点 D 为原点,DG,DC,
6、DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,易得 A( 3,1,0),B( 3,3,0),C(0,2,0),E1( 3,1,1),E32,12,0 ,F( 3,1,0),D1(0,0,2),B1( 3,3,2),C1(0,2,2) CC1(0,0,2),CF( 3,1,0) 新高考二轮复习数学(新课程版) 设平面 FCC1的法向量 n1(x,y,z), 则 2z0,3xy0,令 x1,得 n1(1, 3,0), 又E1E32,12,1 ,故E1E n10, 又 E1E平面 FCC1, 所以 E1E平面 FCC1. D1A( 3,1,2),D1C(0,2,2), 设平面 D1
7、AC 的法向量 n2(a,b,c), 由 n2 D1A0,n2 D1C0,得 3ab2c0,2b2c0, 令 b1,得 n2( 3,1,1) 同理易得平面 BB1C1C 的一个法向量 n3(1, 3,0), 因为 n2 n30,故平面 D1AC平面 BB1C1C. 利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤 (1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素 (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ADAB,
8、ABDC,ADDCAP2,AB1,点 E 为棱 PC 的中点证明: 新高考二轮复习数学(新课程版) (1)BEDC; (2)BE平面 PAD; (3)平面 PCD平面 PAD. 证明 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1) (1)向量BE(0,1,1),DC(2,0,0), 故BE DC0.所以 BEDC. (2)因为 PA平面 ABCD,AB平面 ABCD,所以 ABPA,又因为 ABAD,PAADA,所以 AB平面 PAD, 所以向量AB(1,0,0)为
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- 高考 数学 二轮 专题 复习 第二 立体几何 中的 向量 方法