高等教育自学考试复习专题线性代数经管类讲义-第四部分线性方程组.doc
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1、第四部分线性方程组 本章讨论线性方程组,对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件,基础解系的概念,解的性质,以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解?何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何求通解。 4.1齐次线性方程组 4.1.1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组的一般形式是 用矩阵也可简写成Ax=0其中 。我们要讨论的问题是:该齐次方程组有非零解的充分必要条件。 令为矩阵A的列向量,则该齐次方程组又可以写成,其中 则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组线性相关,用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵的秩r(A)n,其中n是未知数的
2、个数。于是有下面的定理定理4.1.1齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)n,其中n是未知数的个数(也是矩阵A的列数)。等价的说法是齐次线性方程组AX=0只有零解,没有非零解的充分必要条件是r(A)=n。推论1n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 。下面讨论当齐次方程组有非零解时,方程组通解的结构。为此,先讨论齐次方程组解的性质。4.1.2齐次线性方程组解的性质我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。下面要讨论它的所有解组成的集合是什么样的集合。因为齐次方程组AX=0必有零解,所以0V,故V非空。性质1若都是齐次方程组AX=0的解,则也是齐次方
3、程组AX=0的解。证。性质2若是齐次方程组AX=0的解,k是一个数,则也是齐次方程组AX=0的解。证以上两条性质说明是的一个子空间,所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。如果齐次方程组AX=0只有零解,V=0,否则,我们希望求出它的所有解的一般表达式,即通解。即写出中所有元素的一般表达式。4.1.3齐次线性方程组AX=0的基础解系 定义4.1.1设是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足:(1)线性无关;(2)齐次线性方程组AX=0的的任意一个解,都能由它线性表示。则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。进一步,要问,对于给定的齐次方程组,满足什么条件时,它有基础解系?基础
4、解系含几个解向量?如何求一个齐次线性方程组的基础解系?如何求出该齐次方程组的通解?看例题例1求齐次线性方程组的所有解。【答疑编号12040101】 定理4.1.2 设A是mn阶矩阵,r(A)=r,则(1)当r(A)=r n时齐次方程组AX=0必有基础解系。(2)AX=0的基础解系含n-r(A)个解向量,且AX=0的任意n-r(A)个线性无关的解都是它的基础解系(因为齐次方程组含n-r(A)个自由未知数)。(3)如果 是AX=0的一个基础解系,则为任意数)为AX=0的通解。例2设 是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明:也是AX=0的一个基础解系。【答疑编号12040201】 例3 求 的基础
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- 高等教育 自学考试 复习 专题 线性代数 经管 讲义 第四 部分 线性方程组