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1、模块一 正方形的折叠问题1、如图,将一张正方形纸片ABCD对折,使CD与AB重合,得到折痕MN后展开,E为CN上一点,将CDE沿DE所在的直线折叠,使得点C落在折痕MN上的点F处,连接AF,BF,BD.则下列结论中:ADF是等边三角形;tanEBF23;SADF13S正方形ABCD;BF2DFEF.其中正确的是()A B C D【解析】四边形ABCD是正方形,AB=CD=AD,C=BAD=ADC=90,ABD=ADB=45,由折叠性质:MN垂直平分AD,FD=CD,BN=CN,FDE=CDE,DFE=C=90,DEF=DEC,FD=FA,AD=FD=FA,即ADF是等边三角形,正确;设AB=A
2、D=BC=4a,则MN=4a,BN=AM=2a,ADF是等边三角形,DAF=AFD=ADF=60,FA=AD=4a,M=3AM=23a,FN=MN-FM=(4-23)a,tanEBF=FNBN=4-232=2-3,正确;ADF的面积=12ADFM=124a23a=43a2,正方形ABCD的面积=(4a)2=16a2,SADFS正方形ABCD=4316=34,错误;AF=AB,BAF=90-60=30,AFB=ABF=75,DBF=75-45=30,BFE=360-90-60-75=135=DFB,BEF=180-75-75=30=DBF,BEFDBF,BFDFEFBF,BF2=DFEF,正确;
3、故选B【小结】本题是相似形综合题目,考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键2、如图,已知正方形ABCD的边长为3,E是BC上一点,BE=,Q是CD上一动点,将CEQ沿直线EQ折叠后,点C落在点P处,连接PA点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动,当PA的长度最小时,CQ的长为( )ABCD3【解析】:如图所示:在RtABE中,AE=BC=3,BE=,EC=3-由翻折的性质可知:PE=CE=3-AP+PEAE,APAE-PE当点A、P、E一
4、条直线上时,AP有最小值AP=AE-PE=2-(3-)=3-3故选A3、如图,正方形的边长是16,点在边上,点是边上不与点、重合的一个动点,把沿折叠,点落在处,若恰为等腰三角形,则的长为_.【分析】根据翻折的性质,可得BE的长,根据勾股定理可得CE的长,然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论【解析】需分三种情况讨论:(1)若,则(易知此时点在上且不与点、重合);(2)若,因为,所以点、在的垂直平分线上,则垂直平分,由折叠可知点与点重合,不符合题意,则这种情况不成立;(3)如图,若,作与交于点,交于点.因为,所以.因为,所以,所以,则,因为.在中,由勾股定理求得,所以.在中,由勾股定理求得.综
5、上,或.【小结】本题考查折叠性质和勾股定理,本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论4、如图,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕为GH,点B的对应点为M,点A的对应点为N(1)若CM=x,则CH=(用含x的代数式表示);(2)求折痕GH的长 【解析】(1)CM=x,BC=6,设HC=y,则BH=HM=6y,故y2+x2=(6y)2,整理得:y=x2+3,HMC+MHC=90,EMD=MHC,EDMMCH,=,=,得:HC=x2+2x,答案:x2+3或x2+2x;(2)方法一:四边形ABCD为正方形,B=C
6、=D=90,设CM=x,由题意可得:ED=3,DM=6x,EMH=B=90,故HMC+EMD=90,HMC+MHC=90,EMD=MHC,EDMMCH,=,即=,解得:x1=2,x2=6,当x=2时,CM=2,DM=4,在RtDEM中,由勾股定理得:EM=5,NE=MNEM=65=1,NEG=DEM,N=D,NEGDEM,=,=,解得:NG=,由翻折变换的性质,得AG=NG=,过点G作GPBC,垂足为P,则BP=AG=,GP=AB=6,当x=2时,CH=x2+3=,PH=BCHCBP=6=2,在RtGPH中,GH=2当x=6时,则CM=6,点H和点C重合,点G和点A重合,点M在点D处,点N在点
7、A处MN同样经过点E,折痕GH的长就是AC的长所以,GH长为6方法二:有上面方法得出CM=2,连接BM,可得BMGH,则可得PGH=HBM,GPH和BCM中,GPHBCM(SAS),GH=BM,GH=BM=25、在正方形ABCD中,(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且AOF=90求证:AE=BF(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G若DC=5,CM=2,求EF的长 【解析】(1)如图1,四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90,AOF=90,BAE+OBA=90,
8、又FBC+OBA=90,BAE=CBF,在ABE和BCF中,ABEBCF(ASA)AE=BF(2)由折叠的性质得EFAM,过点F作FHAD于H,交AM于O,则ADM=FHE=90,HAO+AOH=90、HAO+AMD=90,POF=AOH=AMD,又EFAM,POF+OFP=90、HFE+FEH=90,POF=FEH,FEH=AMD,四边形ABCD是正方形,AD=CD=FH=5,在ADM和FHE中,ADMFHE(AAS),EF=AM=6、如图,已知E是正方形ABCD的边AB上一点,点A关于DE的对称点为F,BFC=90,求的值【解析】如图,延长EF交CB于M,连接CM,四边形ABCD是正方形,
9、AD=DC,A=BCD=90,将ADE沿直线DE对折得到DEF,DFE=DFM=90,在RtDFM与RtDCM中,RtDFMRtDCM,MF=MC,MFC=MCF,MFC+BFM=90,MCF+FBM=90,MFB=MBF,MB=MC,设MF=MC=BM=a,AE=EF=x,BE2+BM2=EM2,即(2ax)2+a2=(x+a)2,解得:x=a,AE=a,=37、在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;(2)他将正方形ODEF绕
10、O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长 【分析】(1)根据正方形的性质可得AO=CO,OD=OF,AOC=DOF=90,然后求出AOD=COF,再利用“边角边”证明AOD和COF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)与(1)同理求出CF=AD,连接DF交OE于G,根据正方形的对角线互相垂直平分可得DFOE,DG=OG=OE,再求出AG,然后利用勾股定理列式计算即可求出AD【解析】(1)AD=CF理由如下:在正方形ABCO和正方形ODEF中,AO=CO,OD=OF,AOC=DOF=90,AOC+COD=DOF+COD,即AOD=COF,在AOD和COF中,AODC
11、OF(SAS),AD=CF;(2)与(1)同理求出CF=AD,如图,连DF交OE于G,则DFOE,DG=OG=OE,正方形ODEF的边长为,OE=2,DG=OG=OE=2=1,AG=AO+OG=3+1=4,在RtADG中,AD=,CF=AD=点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,(1)熟练掌握正方形的四条边都相等,四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分是解题的关键,(2)作辅助线构造出直角三角形是解题的关键8、在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MNDF于H,交AD于N
12、(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t0);判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由连结FM、FN,MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由 【分析】(1)证明ADFDNC,即可得到DF=MN;(2)首先证明AFECDE,利用比例式求出时间t=a,进而得到CM=a=CD,所以该命题为真命题;若MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论【解析】(1)证明:DNC+ADF=9
13、0,DNC+DCN=90,ADF=DCN在ADF与DNC中,ADFDNC(ASA),DF=MN(2)解:该命题是真命题理由如下:当点F是边AB中点时,则AF=AB=CDABCD,AFECDE,=,AE=EC,则AE=AC=a,t=a则CM=1t=a=CD,点M为边CD的三等分点能理由如下:易证AFECDE,=,即,得AF=易证MNDDFA,即,得ND=t ND=CM=t,AN=DM=a-t若MNF为等腰三角形,则可能有三种情形:(I)若FN=MN,则由AN=DM知FANNDM,AF=DM,即=t,得t=0,不合题意此种情形不存在;(II)若FN=FM,由MNDF,HN=HM,DN=DM=MC,t=a,此时点F与点B重合;(III)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如下图所示: 易得MFCNMD,FC=DM=a-t;又由NDMDCF,即,FC=a-t,t=a,此时点F与点C重合综上所述,当t=a或t=a时,MNF能够成为等腰三角形【小结】本题是运动型几何综合题,考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是:(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解9、如图所示,在正方形ABCD中,点G是边BC上任意一点,DEAG,垂足为E,延长DE交AB于点F在线段