中考数学专题反比例函数中的线段和差数量关系问题解析版.docx
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1、专题19 反比例函数中的线段和差数量关系问题1、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边BC交x轴于点D,ADx轴,反比例函数y(x0)的图象经过点A,点D的坐标为(3,0),ABBD(1)求反比例函数的解析式;(2)点P为y轴上一动点,当PA+PB的值最小时,求出点P的坐标【分析】(1)根据矩形和ABBD可得ABD为等腰直角三角形,进而得出OAD也是等腰直角三角形,从而确定点A的坐标,求出反比例函数的解析式;(2)根据对称,过点A与点B关于y轴的对称点B1的直线与y轴的交点就是所求的点P,于是求出点B的坐标,得到点B1的坐标,求出直线AB1的关系式,求出它与y轴的交点坐标即可【解答】解:(
2、1)OABC是矩形,BOAB90,ABDB,BADADB45,OAD45,又ADx轴,OADDOA45,ODAD,D(3,0)ODAD3,即A(3,3)把点 A(3,3)代入的y得,k9反比例函数的解析式为:y答:反比例函数的解析式为:y(2)过点B作BEAD垂足为E,B90,ABBD,BEADAEEDAD,OD+BE3+,B(,),则点B关于y轴的对称点B1(,),直线AB1与y轴的交点就是所求点P,此时PA+PB最小,设直线AB1的关系式为ykx+b,将 A(3,3)B1(,),代入得,解得:k,b,直线AB1的关系式为yx+,当x0时,y,点P(0,)答:点P的坐标为(0,)【点评】考查
3、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称和一次函数的性质等知识,综合应用的知识较多,掌握基本的解题思路是关键,对每个知识点的掌握是基础2、如图,一次函数ymx+n(m0)的图象与反比例函数y(k0)的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8,b)过点A作x轴的垂线,垂足为点C,AOC的面积为4(1)分别求出a和b的值;(2)结合图象直接写出mx+n的解集;(3)在x轴上取点P,使PAPB取得最大值时,求出点P的坐标【分析】(1)由AOC的面积为4,可求出a的值,确定反比例函数的关系式,把点B坐标代入可求b的值(2)根据图象观察当自变量x取何值时,一次函数
4、图象位于反比例函数图象的下方即可,注意由两部分(3)由对称点B关于x轴的对称点B,直线AB与x轴交点就是所求的点P,求出直线与x轴的交点坐标即可【解答】解:(1)点A(a,4),AC4,SAOC4,即,OC2,点A(a,4)在第二象限,a2 A(2,4),将A(2,4)代入y得:k8,反比例函数的关系式为:y,把B(8,b)代入得:b1,B(8,1)因此a2,b1;(2)由图象可以看出mx+n的解集为:2x0或x8;(3)如图,作点B关于x轴的对称点B,直线AB与x轴交于P,此时PAPB最大(PAPBPAPBAB,共线时差最大)B(8,1)B(8,1)设直线AP的关系式为ykx+b,将 A(2
5、,4),B(8,1)代入得:解得:k,b,直线AP的关系式为yx+,当y0时,即x+0,解得x,P(,0)【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识,理解作点B关于x轴的对称点B,直线AB与x轴交于P,此时PAPB最大3、如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象与正比例函数ykx的图象的一个交点为M(1,b)(1)求正比例函数ykx的表达式;(2)若点N在直线OM上,且满足MN2OM,直接写出点N的坐标【分析】(1)先根据待定系数法求出b的值,再求出正比例函数解析式(2)先确定点N的横坐标,再求出其纵坐标,即可解决问题【解答】解:(1)双曲
6、线过点M(1,b),b4,正比例函数ykx的图象过点M(1,4),k4正比例函数的表达式为y4x(2)由图象可知点N坐标的横坐标为1或3,当x1时,y4,当x3时,y12,点N坐标为(1,4),(3,12)【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题,解题的关键是灵活运用待定系数法,考虑问题要全面,不能漏解,属于中考常考题型4、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1kx+b(k0)的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,3)两点,与x轴交于点C(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)直接写出当y1y2时,x的取值范围;(3)在y轴上找一点P使PBPC最大,
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