《中考文档精选浅谈构造等腰三角形解题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考文档精选浅谈构造等腰三角形解题.doc(4页珍藏版)》请在启牛文库网上搜索。
1、浅谈构造等腰三角形解题等腰三角形是解题的一个重要法宝,当条件初具时,构造出成形的等腰三角形往往会给解题带来巨大的转机,为成功解题提供一条重要的解题思路,下面就谈谈如何构造等腰三角形解题,供学习时借鉴.1.共用一边,同侧相等的两个角,延长不共边生成等腰三角形例1 如图1,已知点E,F分别在正方形ABCD的边CD,AD上,CD=4CE,EFB=FBC,则tanABF= ( )A. B. C. D. (2018年全国数学联赛9年级试题)解析:如图1,延长FE,BC,二线交于点G,过点G作GHCD,交AD的延长线于点H,因为EFB=FBC,所以GB=GF.因为四边形ABCD是正方形,所以四边形CGHD
2、是矩形,所以CG=DH.因为CD=4CE,不妨设CE=x,则AB=CD=BC=GH=4x,DE=3x,因为FDCG,GCEFDE,所以,设CG=m,则DF=3m,在直角三角形FGH中,BG=4x+m,所以=,解得 m=x,所以FD=3m=x,所以AF=AD-DF=4x-x=x,在直角三角形ABF中,tanABF=,所以选B.点评:根据等角的特点构造符合题意的等腰三角形,为解题奠定等式基础,通过构造平行线,为勾股定理的出场做好铺垫,化简由引入的未知数构成的完全平方公式,从而确定变量之间的数量关系,为确定AF的大小做足准备,万事俱备,只需在直角三角形中用好函数的定义求解即可.2.借助线段的垂直平分
3、线构造等腰三角形例2 (2018宁波)如图2,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME若EMD=90,则cosB的值为解析:延长EM交DA的延长线于点N连接DE,过点D作DFEC,交BC的延长线于点F.因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC=AD=2,ADCH,所以NAM=EBM,N=MEB,因为AM=BM,所以AMNBME,所以AN=BE,MN=ME,因为EMD=90,所以三角形DNE是等腰三角形,所以DN=DE,易证ABEDCF,所以BE=CF,所以EF=2,设BE=x,则=,=4+,所以=4+,整理,得 +2x-2=0, 解得:x=-1,或x
4、=-1(舍去),所以cosB=.点评:利用线段的垂直平分线性质构造等腰三角形是解题的关键.其次,熟练求解一元二次方程和熟练掌握三角函数的定义也是解题的基础.3.等量顺接构造等腰三角形例3 如图3,在ABC中,B=2C,AC=AB+BD求证:AD是BAC的平分线 证明:延长BE到点E,使得BE=BD,所以AE=AB+BE=AB+BD,因为AC=AB+BD,所以AC=AE,所以ACE=AEC,所以ACB+DCE=BED+DEC.因为BE=BD,所以BDE=BED,所以ABC=2BED,因为ABC=2ACB,所以ACB=BED,所以DCE=DEC,所以DC=DE,在ADC与ADE中,,所以ADCAD
5、E(ASA),所以DAC=DAE,所以AD是BAC的平分线点评:把折线利用等量延长的方法顺接到AB上,从而构造出等腰三角形,利用等腰三角形的性质和判定,为三角形的全等补充条件,从而让问题得解.4.延长不完整的斜边构造等腰直角三角形例4 如图4,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BD于点E,AB=1, CAE=15,则BE=( )A. B. C. -1 D.-1 (2018年全国数学联赛9年级试题)解析:延长AE交BC于点F,过点E作BC的垂线,垂足为点G,由题意,得BAF=FAD=AFB=GEF=45,BF=AB=1, EBG=ACB=CAD=30,设BE=x,则EG=GF=,BG=x,因为BG+GF=BF,所以+x=1,解得x=-1即BE=-1,所以选D.点评:构造两个等腰直角三角形是解题的关键,其次,熟练运用30角的性质也是解题的一个突破口.5.作高化斜为直构造等腰直角三角形同例4,解析:过点E作EFAB垂足为点F,由题意,得FAE=AEF=45,AB=1, DBC=ACB=CAD=FEB= 30,设BE=2x,则BF=x,EF=AF=x,因为AF+BF=AB,所以x+x =1,解得x=,所以BE=-1,所以选D. 点评:此法的构想源于解直角三角形中的作高法化斜为直,这是一种非常有效的方法,要学会借鉴,学会使用.第 4 页 共 4 页