中考数学专题固定边的直角三角形与二次函数问题解析版.docx
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1、专题23 固定边的直角三角形与二次函数问题1、在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为 (1,0)如图17所示,B点在抛物线图象上,过点B作BDx轴,垂足为D,且B点横坐标为3(1)求证:BDCCOA;(2)求BC所在直线的函数关系式;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)见解析;(2)(3)存在,P1(, )、P2(,)【解析】解:(1)证明:BCDACO90,ACOOAC90,BCDOAC。ABC为等腰直角三角形 ,BCAC。在BDC和COA中,B
2、DCCOA90,BCDOAC,BCAC,BDCCOA(AAS)。 (2)C点坐标为 (1,0),BDCO1。B点横坐标为3,B点坐标为 (3,1)。设BC所在直线的函数关系式为ykxb,解得。BC所在直线的函数关系式为yx。(3)存在 。 yx2x2(x)2x,对称轴为直线x。若以AC为直角边,点C为直角顶点,对称轴上有一点P1,使CP1AC,BCAC,点P1为直线BC与对轴称直线x的交点。由题意可得:, 解得,。P1(,)。若以AC为直角边,点A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2AC,则过点A作A P2BC,交对轴称直线x于点P2,CDOA,A(0,2)。设直线AP2的解析式为:yxm
3、,把A(0,2)代入得m2。直线AP2的解析式为:yx2。由题意可得:,解得,。P2(,)。P点坐标分别为P1(,)、P2(,)。2抛物线的顶点为(1,4),与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴交于C(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)点P为对称轴右侧抛物线上一点,以BP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M落在对称轴上,求P点的坐标【答案】(1)yx22x3;(2)点P的坐标为(2,3)或(4,5)【解析】解:(1)设抛物线的解析式为ya(x1)24,将C(0,3)代入ya(x1)24,得:3a(01)24,解得:a1,抛物线的解析式为y(x1)24x22x3(2)当y0时,有x22x30,解
4、得:x11,x23,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0)设抛物线对称轴与x轴交于点E,过点P作PFx轴,交抛物线对称轴于点F,如图所示设点P的坐标为(x,x22x3)(x1),则PFx1,BE312BME+PMF90,BME+MBE90,MBEPMF在MBE和PMF中,BEMPFM90MBEPMFBMMP ,MBEPMF(AAS),MEPFx1,MFBE2,EFME+MFx+1EF|x22x3|,|x22x3|x+1,即x23x40或x2x20,解得:x11(舍去),x22,x34,点P的坐标为(2,3)或(4,5)3(2019山东中考模拟)如图,抛物线经过,两点,与y轴交于点C,连
5、接AB,AC,BC求抛物线的表达式;求证:AB平分;抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以AB为直角边的直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由【答案】抛物线的解析式为;证明见解析;点M的坐标为或【解析】将,代入得:,解得:,抛物线的解析式为;,取,则,由两点间的距离公式可知,在和中,平分;如图所示:抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F抛物线的对称轴为,则,同理:,又,点M的坐标为或例1:如图,抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(4,0)与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线1,交抛物线与
6、点Q(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段OB上运动时,直线1交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;(3)在点P运动的过程中,坐标平面内是否存在点Q,使BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1) ;(2) 当m2时,四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1(8,18)、Q2(1,0)、Q3(3,2)【思路引导】(1)直接将A(-1,0),B(4,0)代入抛物线y=x2+bx+c方程即可;(2)由(1)中的解析式得出点C的坐标C(0,-2),从而得出点D(0,2),求出直线BD:yx+2,设点M(m,m+2),Q
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