中考数学专题反比例函数中的等腰三角形问题解析版.docx
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1、专题15 反比例函数中的等腰三角形问题1、如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k0)与反比例函数y=(m0)的图象交于第二、四象限A、B两点,过点A作ADx轴于D,AD=4,sinAOD=,且点B的坐标为(n,-2)(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)E是y轴上一点,且AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点坐标(1);(2)当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时,AOE是等腰三角形2、已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且SOAB=.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)若点P
2、为x轴上一点,且ABP是等腰三角形,求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解:(1)如图,过点A作ADx轴于点D,B(5,0),OB=AB,且SOAB= ,,即AD=3,在RtABD中,由勾股定理得:BD=,A点坐标为(9,3),反比例函数的图象过点A,m=27,将(9,3),(5,0)代入y=kx+b得:,解得:即一次函数解析式为:,反比例函数解析式为:;(2)由题意知,AB=5,当AB=BP时,BP=5,即P点坐标为(0,0)或(10,0),当AB=AP时,由AD=3知,BP=4,即点P与点B关于点D对称,即P点坐标为(13,0),当AP=BP时,即P在线段AB的垂直平分线上,设P(m,0
3、),则AP2=(9m)2+9,BP2=(5m)2,(9m)2+9 =(5m)2解得:m=,即P点坐标为(,0),综上所述,满足题意的P点坐标为:(0,0),(10,0),(13,0),(,0).3、如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数y(m为常数,m1,x0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点(1)求OCD的度数;(2)如图2,连接OQ、OP,当DOQOCDPOC时,求此时m的值;(3)如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点再以OA、OB为邻边作矩形OAMB若点M恰好在函数y(m为常数,m1,x0)的图象上,且四边形BAPQ为平行四边形,
4、求此时OA、OB的长度解:(1)设直线PQ的解析式为ykx+b,则有,解得,yx+m+1,令x0,得到ym+1,D(0,m+1),令y0,得到xm+1,C(m+1,0),OCOD,COD90,OCD45(2)如图2,过Q作QMy轴于M,过P作PNOC于N,过O作OHCD于H,P(m,1)和Q(1,m),MQPN1,OMONm,OMQONP90,OMQONP(SAS),OQOP,DOQPOC,DOQOCDPOC,OCD45,DOQPOCQOHPOH22.5,MQQHPHPN1,OCDODC45,DMQ和CNP都是等腰直角三角形,DQPC,OCODm+1,CDOC,CDDQ+PQ+PC,2+2,m
5、+1;(3)如图3,四边形BAPQ为平行四边形,ABPQ,ABPQ,OAB45,AOB90,OAOB,矩形OAMB是正方形,点M恰好在函数y(m为常数,m1,x0)的图象上,M(,),即OAOB,ABPQ,解得:m或(舍),OAOB4、如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC2,点A在反比例函数图象上,连接AC、AO(1)求反比例函数解析式;(2)若四边形ACBO的面积为3,求点A的坐标解:(1)作BDOC于D,如图,BOC为等边三角形,ODCDOC1,BDOD,B(1,),把B(1,)代入y得k1(),反比例函数解析式为y;(2)设A(t,),四边形ACB
6、O的面积为3,2+23,解得t,A点坐标为(,2)5、如图,点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰ABC,且ACB120,点C在第一象限,随着点A的运动点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y上运动,则k的值为 解:作ADx轴于D,CEx轴于E,连接OC,如图,AB过原点,点A与点B关于原点对称,OAOB,CAB为等腰三角形,OCAB,ACB120,CAB30,OAOC,AOD+COE90,AOD+OAD90,OADCOE,RtAODRtOCE,()2()23,而SOAD|6|3,SOCE1,即|k|1,而k0,k26、如图,已知直线yx+
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