2020版高考总复习数学理科知识点(北师大版)第三章导数及其应用.docx
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1、 第第 1 节节 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景;2.通过函数图像直观理解导数的几何意义;3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数),yx,y1x,yx2,yx3,y x的导数;4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数. 知 识 梳 理 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1)定义:当 x1趋于 x0,即 x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 yf(x)在 x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数
2、yf(x)在 x0点的导数,通常用符号 f(x0)表示,记作 (2)几何意义:函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为 yy0f(x0)(xx0). 2.函数 yf(x)的导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值记为 f(x):f(x),则 f(x)是关于 x 的函数,称 f(x)为 f(x)的导函数,通常也简称为导数. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x( 是实数) f(x)x1 f(x)sin x
3、f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0) f(x)axln_a f(x)ln x f(x)1x f(x)logax(a0,a1) f(x)1xln a 4.导数的运算法则 若 f(x),g(x)存在,则有: (1)f(x)g(x)f(x)g(x); (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x); (3)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2(g(x)0). 5.复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u),ug(x)的导数间的关系为 yxyuux. 微点提醒 1.f(x0)代表
4、函数 f(x)在 xx0处的导数值;(f(x0)是函数值 f(x0)的导数,且(f(x0)0. 2.1f(x)f(x)f(x)2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个, 而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率.( ) (2)函数 f(x)sin(x)的导数 f(x)cos x.(
5、) (3)求 f(x0)时,可先求 f(x0),再求 f(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f(x0)表示 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率,(1)错. (2)f(x)sin(x)sin x,则 f(x)cos x,(2)错. (3)求 f(x0)时,应先求 f(x),再代入求值,(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 22P35 例 5 改编)曲线 yx311 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.9 B.3 C.9 D.15 解析 因为 yx311,所以 y3x2,所以 y|x13,所以曲线 y
6、x311 在点 P(1,12)处的切线方程为 y123(x1).令 x0,得 y9. 答案 C 3.(选修 22P25 问题 1 改编)在高台跳水运动中,t s 时运动员相对于水面的高度(单位:m)是 h(t)4.9t26.5t10,则运动员的速度 v_ m/s,加速度 a_ m/s2. 解析 vh(t)9.8t6.5,av(t)9.8. 答案 9.8t6.5 9.8 4.(2019榆林质检)已知函数 f(x)x(2 018ln x),若 f(x0)2 019,则 x0等于( ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析 f(x)2 018ln xx1x2 019ln x. 由 f(x0)
7、2 019,得 2 019ln x02 019,则 ln x00,解得 x01. 答案 B 5.(2018天津卷)已知函数 f(x)exln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为_. 解析 由题意得 f(x)exln xex1x,则 f(1)e. 答案 e 6.(2017全国卷)曲线 yx21x在点(1,2)处的切线方程为_. 解析 设 yf(x),则 f(x)2x1x2, 所以 f(1)211, 所以在(1,2)处的切线方程为 y21(x1), 即 yx1. 答案 yx1 考点一 导数的运算 多维探究 角度 1 根据求导法则求函数的导数 【例 11】 分别求下列函数的导数:
8、(1)yexln x; (2)yxx21x1x3; (3)f(x)ln 12x. 解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexxexln x1x. (2)因为 yx311x2,所以 y3x22x3. (3)因为 yln 12x12ln()12x , 所以 y12112x(12x)112x. 角度 2 抽象函数的导数计算 【例 12】 (2019南昌联考)已知函数 f(x)的导函数是 f(x),且满足 f(x)2xf(1)ln 1x,则f(1)( ) A.e B.2 C.2 D.e 解析 由已知得 f(x)2f(1)1x,令 x1 得 f(1)2f(1)1,解得 f(1)1,则
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- 2020 高考 复习 数学 理科 知识点 北师大 第三 导数 及其 应用