高考数学专题-数列求和.doc
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1、 1 复习课:复习课: 数列求和数列求和 一一、 【知识梳理】、 【知识梳理】 1等差、等比数列的求和公式 dnnnaaanSnn2) 1(2)(11+=+=,111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq=公比含字母时一定要讨论 2错位相减法求和:如:已知 na成等差, nb成等比,求1 12 2nnaba ba b+ 3分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和 4合并求和:如:求22222212979899100+的和 5裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项 常见拆项:111) 1(1+=+nnnn , )121121
2、(21) 12)(12(1+=+nnnn, )2)(1(1) 1(121)2)(1(1+=+nnnnnnn, 11(1)!(1)!nnnn=+(理科) 6倒序相加法求和:如等差数列求和公式的推导 7其它求和法:归纳猜想法,奇偶法等 二二、 【、 【经典考题经典考题】 【1.1.公式求和公式求和】例 1 (浙江)在公差为d的等差数列na中,已知110a =,且3215 , 22 ,aaa+成等比数列 (1)求nad,; (2)若0d,求123|naaaa+ 【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解,第二问要注意去绝对值时项的正负讨论 【解答】 (1)由已知得到: 22221 311(2
3、2)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd+=+=+=+ 224112122125253404611nndddddddanan= +=+=+=或 (2)由(1)知,当0d 时,11nan=, 当111n 时,0na , 123123(1011)(21)|22nnnnnnaaaaaaaa+=+= 当n12时,0na 2 123123111213212311123|()11(21 11)(21)212202()()2222nnnaaaaaaaaaaannnnaaaaaaaa+=+=+= 所以,综上所述:123(21),(111)2221220,(12)2|nnnnnnnaaa
4、a+= 【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力 变式训练: (重庆文)设数列 na满足:11a =,13nnaa+=,nN (1)求 na的通项公式及前n项和nS; (2)已知 nb是等差数列,nT为前n项和,且12ba=,3123baaa=+,求20T 【解答】 (1)由题设知na是首项为1,公比为3的等比数列,13nna=,1 31(31)1 32nnnS= (2)123313,1 3913,10,210,5babbbdd= +=, 故2020 1920 3510102T= + = 【2.倒序相加法倒序相加法】例 2已知函数1(
5、 )()42xf xx=+R (1)证明:1( )(1)2f xfx+=; (2)若数列na的通项公式为()(,1,2,)nnafmnmm=N,求数列na的前m项和mS; (3)设数列 nb满足:211,12311111,31111nnnnnbbbb Tbbbb+=+=+,若(2)中的mS满足对任意不小于2的任意正整数,mnm ST恒成立,试求m的最大值 【分析】第(1)问,先利用指数的相关性质对(1)fx化简,后证明左边=右边即可;第(2)问,注意利用(1)中的结论,构造倒序求和;第(3)问,由已知条件求出nT的最小值,将不等式转化为最值问题求解 【解答】 (1)()11144( ),(1)
6、424242 42 24xxxxxxf xfx=+ + 3 14421( )(1)422(24 )2(24 )2xxxxxf xfx+=+=+ (2)由(1)知,1( )(1)2f xfx+=,1()(1)(11,)2kkffkmkmm+= N, 即11,( )(1)26km kmaaaf mf+=, 又121121,mmmmmmmSaaaaSaaaa=+=+且有两式相加得 112(1)2226mmmSma=+=,即1()412mmSm=N (3)由2111,(1)3nnnnnbbbbb b+=+=+,知对任意的nN,0nb ,则 11111nnnbbb+=+,即11111nnnbbb+=+,
7、 所以122334111111111111111()()()()3nnnnnTbbbbbbbbbbb+=+= 2110,nnnnnbbbbb+=,即数列 nb是单调递增数列 nT关于n递增,n N时,1nTT 21212111413,( ),333394nbbTTb=+= = 由题意知34mS ,即134124m,解得103m ,m的最大值为3 【点评】解题时,对于某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求和 变式训练: 已知函数( )222xxf x =+ (1)证明:( )()11f xfx+=; (2)求1220122013()()()()2014201420142014ffff+的
8、值 【解答】 (1) ( )()112222222211222222222222( 22 )22xxxxxxxxxxxxf xfx+=+=+=+=+(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知, 120132201210071007()()()()()()1201420142014201420142014ffffff+=+=+=, 令1220122013()()()()2014201420142014Sffff=+ 4 2013201221()()()()2014201420142014Sffff=+则, 两式相加得: 1201322013 ()()201320142014Sff=+= 所以201
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