国际数学竞赛题08.docx
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1、国际数学竞赛题08(一)1. m和n都是正整数,a1,a2,.,am是1,2,.,n中不同的数,只要有ai +aj n(i,j可能相同)那么就有某个k使ai +aj=ak, 求证(a1+.+am)/m(n+1)/2. 2. ABC是等腰三角形,AB=AC,M是BC的中点,O是线AM上的点且OBAB,Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点,E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线. 求证:OQEF当且仅当QE=QF. 3. 对任何正整数k,定义f(k)为集合k+1,k+2,.,2k中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数, 求证对于每个正整数m,存在至少一个k使f(k)=m;并求出使得恰
2、有一个k的所有m值. 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数. 5. 试找出所有的正整数对(n,p),使得p是素数,n 2p并且(p-1)n+1可被np-1整除. 6. S是所有大于-1的实数集,试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y)=y+f(x)+yf(x),并且对于-1x0和03,使得在平面上存在n个点A1,A2, .,An(无三点共线)及n个实数r1,r2,.,rn满足 AiAjAk的面积是ri+rj+rk, 其中是对每个三元组1ijkn. 4. 正实数序列x0,x1,.,x1995满足条件 x0=x1995且对于i=
3、1,2,.,1995有xi-1+2/xi-1=2xi +1/xi.试求出所有满足上述条件的数列中x0的最大值. 5.求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,.,19902(顺序不定). 6. p是一个奇质数,试求出集合1,2,.,2p的所有p元子集A的个数满足A中元素之和能被p整除. 7. 试找出所有这样的有限集S:S至少包括平面上的3个点;对任何两个S中不同的点A,B,AB的垂直平分线是S的一个对称轴. 8. 设n 2是一个给定的整数,是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x1, . , xn如下不等式成立:ip+q,令x0,x1,xn都是整数,x0=xn=0且对每个
4、1in,xi-xi-1=p或q. 求证存在下标ij且(i,j)(0,n)满足xi=xj. 7. 给定一个nn的棋盘,n是偶数. 如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的,但同一个方格不认为与它自身相邻. 试找出最小数目的方格,使得当它们被标记之后,棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻. 8. 圆有两个内切圆1 ,2,切点分别是M,N,1经过2的圆心. 1,2的公共弦的延长线交于A,B两点. 线MA,MB分别交1分别于E,F. 求证:EF于2相切. 9. 试找出所有的函数f:R R使得f(x-f(y)=f(f(y)+xf(y)+f(x)-1对所有x,y R都成立. 其
5、中R表示实数集. (四)1. 在坐标平面上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点. 这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像棋盘一样). 对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标,两腰长分别为m和n,且其两腰都在这些正方格的边上. 设S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积,S2则为所有白色部分的总面积. 令f(m,n)=|S1-S2|, o a. 当m,n同为正偶数或者同为正奇数时,计算f(m,n); o b. 求证f(m,n)max(m,n)/2对所有m,n都成立; o c. 求证不存在常量C使得f(m,n). 2. 设A是ABC中最小的內角. B和C将此三角形
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