新编立体几何新题型的解题技巧典藏版.docx
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1、新编立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在2007年高考中立体几何命题有如下特点:1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系2.多面体中线面关系论证,空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题. 【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握
2、二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.(B)版. 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算.掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式.会画直棱柱、正棱锥的直观图.空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,
3、二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题.不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱的所有
4、棱长都为,为中点ABCD()求证:平面;()求二面角的大小;()求点到平面的距离考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解答过程:解法一:()取中点,连结ABCDOF为正三角形,正三棱柱中,平面平面,平面连结,在正方形中,分别为的中点, , 在正方形中, 平面()设与交于点,在平面中,作于,连结,由()得平面, 为二面角的平面角在中,由等面积法可求得,又, 所以二面角的大小为()中,在正三棱柱中,到平面的距离为设点到平面的距离为由,得,点到平面的距离为解法二:()取中点,连结为正三角形,在正三棱柱中,平面平面,
5、平面xzABCDOFy取中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,平面()设平面的法向量为, ,令得为平面的一个法向量由()知平面,为平面的法向量,二面角的大小为()由(),为平面法向量,点到平面的距离小结:本例中()采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(
6、)证明PQ平面ABCD;()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离.命题目的:本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.QBCPADOM过程指引:方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程:方法一()取AD的中点,连结PM,QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥,所以ADPM,ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM,所以PQAD.同理PQAB,所以PQ平面ABCD.()连结AC、BD设,由PQ平面ABCD及正四棱锥的性
7、质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N,连接PN.因为,所以,从而AQPN,BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.因为,所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()连结OM,则所以MQP45.由()知AD平面PMQ,所以平面PMQ平面QAD. 过P作PHQM于H,PH平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.又.即点P到平面QAD的距离是.QBCPADzyxO方法二()连结AC、BD,设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥,所以PO平面ABCD,QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ平面ABCD.()由题设知,ABCD是正方形,所以
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