挑战2013中考数学压轴题第六版精选1.1因动点产生的相似三角形问题.doc
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1、1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C(1)点B的坐标为_,点C的坐标为_(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由图1动感体验请打
2、开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在OQAB的时刻,也存在OQAB的时刻思路点拨1第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示3第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, )(2)如图2,过点P作PDx轴,PEy轴,垂足
3、分别为D、E,那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3,联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3(3)由,得A(1, 0),OA1如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么OQCQOA当,即时,BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5,以OC为直径的圆与直线x1交于点Q,那么OQC90。因此OCQQOA当时,BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此,即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而QOA与QOC是互余的,那么我们自然想到三个三
4、角形都是直角三角形的情况这样,先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中,圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB4OC矛盾例2 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1,已知抛物线的方程C1: (m0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求BCE的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BHEH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点
5、B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”,拖动点C在x轴正半轴上运动,观察左图,可以体验到,EC与BF保持平行,但是BFC在无限远处也不等于45观察右图,可以体验到,CBF保持45,存在BFCBCE的时刻思路点拨1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BHEH最小2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作CBFEBC45,或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程满分解答(1)将M(2, 2)代入,得解得m4(2)当m4时,所以C(4,
6、 0),E(0, 2)所以SBCE(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x1,当H落在线段EC上时,BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P,那么因此解得所以点H的坐标为(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于BCEFBC,所以当,即时,BCEFBC设点F的坐标为,由,得解得xm2所以F(m2, 0)由,得所以由,得整理,得016此方程无解图2 图3 图4如图4,作CBF45交抛物线于F,过点F作FFx轴于F,由于EBCCBF,所以,即时,BCEBFC在RtBFF中,由FFBF,得解得x2m所以F所以BF2m2,由,得解得综合、,符合题意的m为考点伸展第(4)题也可以这
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- 挑战 2013 中考 数学 压轴 第六 精选 1.1 产生 相似 三角形 问题