考研数学线性代数考点知识点总结.wps
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1、第一章行列式二元线性方程组:2222111211byaxabyaxa22211211aaaaD,2221211ababD,2211112babaD DDx1,DDy2排列的逆序数:ntitt1(it为排列nppp21中大于ip且排于ip前的元素个数)t为奇数奇排列,t为偶数偶排列,0t标准排列。n 阶行列式:nnnnnnijaaaaaaaaaaD212222111211)det(=nnppptaaa2121)1(t 为列标排列的逆序数定理 1:排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性推论:奇(偶)排列变为标准排列的对换次数为奇(偶)数定理 2:n 阶行列式可定义为nppptnaaaD2121)1
2、(=nnppptaaa2121)1(1D=DT,DT为 D 转置行列式(沿副对角线翻转,行列式同样不变)2互换行列式的两行(列),行列式变号记作:jirr(jicc)DD推论:两行(列)完全相同的行列式等于零记作:jirr(jicc)0DD3行列式乘以 k 等于某行(列)所有元素都乘以k记作:krkDi(kckDi)推论:某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面记作:krkDi(kckDi)4两行(列)元素成比例的行列式为零记作:krrij(kccij)0D5nnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaD2121222221111211)()()(nnnnninniinnnn
3、ninniiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211上式为列变换,行变换同样成立6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变记作:jiikccc(jiikrrr),D不变行列式的性质:注:任何注:任何 n 阶行列式总能利用行运算阶行列式总能利用行运算 ri+krj化为上化为上(下下)三角行列式三角行列式对角行列式nn212100,nnnn212)1(21)1(00上 D(下 DT)三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110若对kkkkkkkkkkkkbbbb
4、ccccaaaaD111111111111设nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD1111211111)det()det(,若 2n 阶行列式nnddccbbaaD22,则有 D=D1D2有 D2n=(ad-bc)n余子式:n 阶行列式中把ija所在的第i行和第j列去掉后,余下 n-1 阶行列式代数余子式:ijjiijMA)1(引理:引理:n 阶行列式 D 中,若第i行所有元素除ija外都为零,则有ijijAaD 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零定理 3:(代数余子式性质);
5、,0,1jijiDDAankijkjki当当或;,0,1jijiDDAankijjkik当当其中.,0,1jijiij当当范德蒙德行列式:113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD1)(jinjixx证明用数学归纳法克拉默法则:设方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,若01111nnnnaaaaD,则方程组有惟一解:DDxDDxDDxnn,2211,其中nnjnnjnjnnjjaaaabbaaaaD1,11,111,11,111),2,1(nj定理 4:若上线性方程组的系数行列式
6、0D,则方程组一定有惟一解;若无解或有两个不同解,则0D定理 5:若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式0D,则齐次线性方程组无非零解;若有非零解,则0D第二章矩阵及其运算n 阶单位矩阵(单位阵):100010001EAAEEA对角矩阵(对角阵):n00000021另可记作),diag(21n纯量阵:000000EAAE)(,AEA)(矩阵与矩阵相乘:若)(ija是一个sm矩阵,)(ijbB是一个ns矩阵,且ABC,则)(ijcC是一个nm矩阵,且mibababacsjisjijiij,2,1(2211;),2,1nj若BAAB,称A与B是可交换的矩阵转置:若)(ija,则)(TjiaTTT
7、)(BABA,TTT)(ABAB若TAA,A为对称阵对称阵方阵的行列式:n 阶方阵A元素构成的行列式,记A或AdetijA为行列式A中对应元素的代数余子式伴随矩阵:nnnnnnAAAAAAAAA212221212111*AEAAAAA*方阵行列式的运算规律:1AAT;2AAn;3BAAB,11A AA A逆矩阵:若EBAAB,则A可逆,且称B为A的逆矩阵,记B=A-1,A的逆阵是唯一的定理 1:若矩阵A可逆,则0A定理 2:若0A,则矩阵A可逆,且*AAA11奇异矩阵:当0A时,A称为奇异矩阵矩阵A可逆的充要条件:0A,即矩阵A是非奇异矩阵。运算规律:1AA11)(;2111)(AA;3111
8、)(ABAB;4TTAA)()(11矩阵A的 m 次多项式:mmaaaaAAAEA2110)()()()()(AAAAff,多项式可相乘或分解因式1若1PPA,则1PPkkA,1)()(P P P PA A2),diag(21n(对角阵),则),diag(21knkkk,)(,),(),(diag()(21nA A加减相乘与矩阵相同。分 块 矩 阵的 运 算 规律:若srsrAAAAA1111,则TT1T1T11TsrsrAAAAA分块对角矩阵:(其中A以及iA均为方阵)sA0A0AA21,若0A,则11211sA0A0AA1性质:sAAAA21,且),2,1(0siiA,则0A行向量:TT2
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