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1、 第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质 1.4.21.4.2正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质( (一一) )明目标、知重点明目标明目标 知重点知重点填填要点要点记疑点记疑点探探要点要点究所然究所然内容索引010102020303当堂测当堂测查疑缺查疑缺 0404明目标、知重点1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x,ycos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.明目标、知重点明目标、知重点1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个 ,使得当x取定义域内的 时,都有 ,那么函数f
2、(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 .非零常数T填要点记疑点每一个值f(xT)f(x)最小正周期明目标、知重点2.正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k) ,cos(x2k)cos x(kZ)知ysin x与ycos x都是 函数,2k (kZ且k0)都是它们的周期,且它们的最小正周期都是2.3.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数ysin x与余弦函数ycos x的定义域都是_,定义域关于 对称.sin x周期原点R明目标、知重点(2)由sin(x) 知正弦函数ysin x是
3、R上的 函数,它的图象关于 对称.(3)由cos(x) 知余弦函数ycos x是R上的偶函数,它的图象关于 对称.sin x奇原点cos xy轴明目标、知重点探要点究所然情境导学自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动,圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念函数周期性.明目标、知重点探究点一周期函数的定义思考1观察正弦函数图象知,正弦曲线每相隔2个单位重复出现其理论依据是什么?答诱导公式sin(x2k)sin x(kZ)当自变量x的值增加2
4、的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.明目标、知重点思考2设f(x)sin x,则sin(x2k)sin x可以怎样表示?把函数f(x)sin x称为周期函数,那么,一般地,如何定义周期函数呢?答f(x2k)f(x)(kZ)这就是说:当自变量x的值增加到x2k时,函数值重复出现.一般地,对于函数yf(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(xT)f(x)都成立,那么就把函数yf(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.明目标、知重点小结为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)sin x称为周期函数
5、,2k为这个函数的周期 (其中kZ且k0).明目标、知重点思考3正弦函数ysin x的周期是否唯一?正弦函数ysin x的周期有哪些?答正弦函数ysin x的周期不止一个. 2,4,6,都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2k(kZ且k0)都是它的周期.明目标、知重点探究点二最小正周期导引如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小正周期.如:f(x)C(C为常数,xR ),对于非零实数T都是它的周期, 而最小正周期不存在.明目标、知重点思考我们知道2,4,6,都是ysin x的周期,那么函数ysin x有最小正周
6、期吗?若有,那么最小正周期T等于多少?答正弦函数ysin x有最小正周期,且最小正周期T2.小结如果非零常数T是函数yf(x)的一个周期,那么kT(kZ且k0)都是函数yf(x)的周期.例如,正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的最小正周期都是2,它们的所有周期可以表示为2k(kZ且k0).明目标、知重点探究点三函数yAsin(x)(或yAcos(x)(A0,0)的周期思考求函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)的最小正周期?答由诱导公式一知:对任意xR,都有Asin(x)2Asin(x),明目标、知重点明目标、知重点探究点四正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线余弦曲线明目标
7、、知重点思考1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现?答正弦函数ysin x的图象关于原点对称,余弦函数ycos x的图象关于y轴对称.思考2上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质?如何从理论上加以验证?答正弦函数是R上的奇函数,余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得,sin(x)sin x,cos(x)cos x均对一切xR恒成立.明目标、知重点例1求下列三角函数的周期.(1)y3cos x,xR;解3cos(x2)3cos x,自变量x只要并且至少要增加到x2,函数y3cos x,xR的值才能重复出现,所以,函数y3cos x,xR的周期是2.明目标、知重点(2)ysin 2
8、x,xR;解sin(2x2)sin2(x)sin 2x,自变量x只要并且至少要增加到x,函数ysin 2x,xR的值才能重复出现,所以,函数ysin 2x,xR的周期是.明目标、知重点自变量x只要并且至少要增加到x4,明目标、知重点明目标、知重点跟踪训练1求下列函数的周期:(1)ycos 2x;(3)y|cos x|.明目标、知重点解f(x)的最小正周期是,f(x)是R上的偶函数,明目标、知重点反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性,把自变量x的值转化到可求值区间内.明目标、知重点B明目标、知重点f(x)是偶函数.明目标、知重点(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin
9、 x);f(x)的定义域关于原点对称.又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x). f(x)为奇函数.明目标、知重点解1sin x0,sin x1,定义域不关于原点对称,该函数是非奇非偶函数.明目标、知重点反思与感悟判断函数奇偶性,要先判断函数的定义域是否关于原点对称,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件,然后再判断f(x)与f(x)之间的关系.明目标、知重点解f(x)sin 2xx2sin x,又xR,f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x),f(x)是奇函数.明目标、知重点f(x)既是奇函数又是偶函数.明目标、知重点当堂测查疑缺 1 2 3 4B明目标、知重点1 2 3 4D明目标、知重点1 2 3 43.已知f(x)是R上的奇函数,且f(1)2,f(x3)f(x),则f(8) .解析f(x3)f(x),f(x)是周期函数,3就是它的一个周期,且f(x)f(x).f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.2明目标、知重点1 2 3 4明目标、知重点1 2 3 4f(x)f(x).f(x)为奇函数.明目标、知重点呈重点、现规律