高中数学优质课件精选人教版必修五1.1.2余弦定理探究导学课型.ppt
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1、1.1.2余 弦 定 理1.1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程掌握余弦定理及余弦定理的推导过程. .2.2.了解余弦定理的几种变形公式了解余弦定理的几种变形公式. .3.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题. .余弦定理余弦定理 平方平方平方平方夹角夹角两倍两倍c c2 2+a+a2 2-2ac-2accosBcosB1.1.已知已知a a2 2+b+b2 2-c-c2 2= ab= ab,则,则C=(C=() )A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.150【解析解析】选选A.A.因为因为co
2、sC= cosC= ,0 0C180Cbacba知知C C最大,最大,因为因为cosC=cosC=所以所以C=120C=120. .答案:答案:1201204.4.在在ABCABC中,已知中,已知a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,A=30A=30,a=1a=1,则,则S SABCABC= =. .【解析解析】因为因为a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,所以,所以ABCABC是以是以C C为直角的直角三角为直角的直角三角形,又因为形,又因为A=30A=30,a=1a=1,所以,所以c=2c=2,b=b=所以所以S SABCABC= = 答案:答案:一、余弦定理及其证明一、余弦定理及
3、其证明探究探究1 1:如图,设:如图,设 那么向量那么向量c的平方是的平方是什么?表示为对应的边可以得到什么式子?什么?表示为对应的边可以得到什么式子?提示提示:c= =b- -a,| |c| |2 2=(=(b- -a) )( (b- -a)=)=bb+ +aa-2-2ab=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC,所以,所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.探究探究2 2:利用探究:利用探究1 1的结论思考下面的问题:的结论思考下面的问题:(1)(1)已知三角形的三边已知三角形的三边a a,b b,c c,如何表示,如何表示cos
4、C.cosC.提示:提示:由探究由探究1 1知知c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC,故,故cosC= cosC= (2)(2)若若C=90C=90,探究,探究1 1的结论还成立吗?如果成立写出该结论,的结论还成立吗?如果成立写出该结论,若不成立说明理由若不成立说明理由. .提示:提示:若若C=90C=90,探究,探究1 1的结论仍成立,即的结论仍成立,即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .探究探究3 3:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,请
5、问两余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,请问两定理之间有何联系?定理之间有何联系?提示:提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特殊情况殊情况. .【拓展延伸拓展延伸】利用平面图形的几何性质和利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理勾股定理证明余弦定理当当ABCABC为锐角三角形时,如图,为锐角三角形时,如图,作作CDABCDAB,D D为垂足,则为垂足,则CD=bsinACD=bsinA,DB=c-bcosADB=c-bcosA,则,则a a2 2=DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c-bcosA)=(c-bco
6、sA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA,其余两个式子同理可证;,其余两个式子同理可证;当当ABCABC为钝角三角形时,如图,为钝角三角形时,如图,作作CDABCDAB,交,交BABA的延长线于点的延长线于点D D,则,则CD=bsinACD=bsinA,DB=bcos(-A)+c=c-bcosADB=bcos(-A)+c=c-bcosA,则则a a2 2=DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c-bcosA)=(c-bcosA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bc
7、cosA,其余两个式子同理可证;,其余两个式子同理可证;当当ABCABC为直角三角形时,易证余弦定理仍然成立为直角三角形时,易证余弦定理仍然成立. .【探究总结探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明对余弦定理及其推论的两点说明(1)(1)余弦定理适用于任意三角形,反映了三角形中三条边与一余弦定理适用于任意三角形,反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系个内角的余弦之间严格确定的量化关系. .(2)(2)余弦定理余弦定理a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA还可改写为还可改写为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2
8、2C-C-2sinB2sinBsinCcosAsinCcosA,有时应用它求三角函数值会很方便,有时应用它求三角函数值会很方便. .二、余弦定理在解三角形中的应用二、余弦定理在解三角形中的应用探究探究1 1:根据余弦定理及其推论的形式,可以解哪两类三角形:根据余弦定理及其推论的形式,可以解哪两类三角形问题?问题?提示:提示:余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题:余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题:(1)(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. .(2)(2)已知三角形的三条边就可以求出其角已知三角形的三条边就可以求出
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