高中数学优质课件精选人教版必修五2.5.1等比数列的前n项和探究导学课型.ppt
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1、2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1.1.理解并掌握等比数列前理解并掌握等比数列前n n项和公式及推导方法项和公式及推导方法. .2.2.掌握等比数列前掌握等比数列前n n项和性质,并能应用性质解决有关问题项和性质,并能应用性质解决有关问题. .等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式已知量已知量首项、公比与项数首项、公比与项数首项、末项、项数与公比首项、末项、项数与公比选用选用公式公式1.1.等比数列等比数列 的前的前1010项和等于项和等于( () )【解析解析】选选C.C.因为数列因为数列 是首项为是首项为 ,公比为,公比为 的的等比数列,所以等比数列,所以S S101
2、0= = 2.2.等比数列等比数列 从第从第3 3项到第项到第7 7项的和为项的和为. .【解析解析】方法一:此等比数列的第方法一:此等比数列的第3 3项到第项到第7 7项仍然构成等比数项仍然构成等比数列,新等比数列的首项为列,新等比数列的首项为 ,公比为,公比为 ,从第,从第3 3项到第项到第7 7项的和项的和为为S= S= 方法二:由题意得,此等比数列的首项为方法二:由题意得,此等比数列的首项为 ,公比为,公比为 ,所以所以S S7 7= = ,所以从第,所以从第3 3项到第项到第7 7项的和为项的和为 答案:答案:3.3.对于等比数列对于等比数列aan n ,若,若a a1 1=5=5,
3、q=2q=2,S Sn n=35=35,则,则a an n= =. .【解析解析】由由S Sn n= = ,得,得a an n= =20.=20.答案:答案:2020一、等比数列的前一、等比数列的前n n项和项和根据等比数列前根据等比数列前n n项和的推导过程,思考下面的问题:项和的推导过程,思考下面的问题:设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n,即即S Sn n=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+ +a+a1 1q qn-1n-1. .用用q q同乘以同乘以式的两边,得式的两边,得qSqSn
4、 n=a=a1 1q+aq+a1 1q q2 2+a+a1 1q q3 3+ +a+a1 1q qn-1n-1+a+a1 1q qn n-得得(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1-a-a1 1q qn n,当当q1q1时,得时,得S Sn n= = 探究探究1 1:式两边为什么要同乘以式两边为什么要同乘以q q?提示:提示:根据等比数列的定义,根据等比数列的定义,式两边同乘以式两边同乘以q q,可以使所得,可以使所得到的式子与到的式子与式有若干共同的项,使得作差后能消去若干项,式有若干共同的项,使得作差后能消去若干项,得到有限项,从而求出数列的前得到有限项,从而求出数列的前n n项和项
5、和. .探究探究2 2:式减式减式的目的是什么?式的目的是什么?提示:提示:式减式减式的目的是消去两式中若干项,从而得出有限式的目的是消去两式中若干项,从而得出有限项项. .探究探究3 3:在推导:在推导S Sn n= (q1)= (q1)的过程中,限制了的过程中,限制了q1q1,当当q=1q=1时,时,S Sn n等于多少呢?等于多少呢?提示:提示:当当q=1q=1时,数列中的每一项都相等,所以其前时,数列中的每一项都相等,所以其前n n项和项和S Sn n=na=na1 1. .【探究总结探究总结】等比数列前等比数列前n n项和公式的关注点项和公式的关注点(1)q1(1)q1时前时前n n
6、项和公式的推导采用的是错位相减法项和公式的推导采用的是错位相减法. .(2)(2)在等比数列的通项公式与前在等比数列的通项公式与前n n项和公式中共含有项和公式中共含有5 5个量,若个量,若知道其中知道其中3 3个可求另个可求另2 2个个. .(3)(3)求等比数列求等比数列aan n 的前的前n n项和时,要注意公比是否为项和时,要注意公比是否为1 1,要分情,要分情况选取合适的公式求解况选取合适的公式求解. .【拓展延伸拓展延伸】等比数列的前等比数列的前n n项和公式的其他推导方法项和公式的其他推导方法方法一:方法一:S Sn n= a= a1 1+a+a2 2+ +a+an n=a=a1
7、 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+ +a+a1 1q qn-1n-1( (等比数列定义等比数列定义) )=a=a1 1+q(a+q(a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+ +a+a1 1q qn-2n-2)=a)=a1 1+qS+qSn-1n-1=a=a1 1+q(S+q(Sn n-a-a1 1q qn-1n-1)=a)=a1 1+qS+qSn n-a-a1 1q qn n( (方程思想方程思想) ),所以所以(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1(1-q(1-qn n) ),因为,因为q1q1,所以所以S Sn n= = 方法二:方法二:S Sn n=a
8、=a1 1+a+a2 2+ +a+an n=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a2 2q+q+a+an-1n-1q(q(等比数列定义等比数列定义) )=a=a1 1+q(a+q(a1 1+a+a2 2+ +a+an-1n-1)=a)=a1 1+q(S+q(Sn n-a-an n) )=a=a1 1+qS+qSn n-a-an nq q,所以所以(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1-a-an nq q,因为,因为q1q1,所以所以S Sn n= = 方法三:方法三:q= (q= (等比数列定义等比数列定义) ) ( (比例的性质比例的性质) ),所以所以q(Sq(Sn n-a-an n
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