高中数学优质课件精选人教版必修五2.5.2等比数列习题课探究导学课型.ppt
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1、第2课时等比数列习题课类型一类型一错位相减法求数列的和错位相减法求数列的和1.1.求和:求和: . .2.(20132.(2013湖南高考湖南高考) )设设S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和,已知项和,已知a a1 100,2a2an n-a-a1 1=S=S1 1S Sn n,nNnN* *. .(1)(1)求求a a1 1,a a2 2,并求数列,并求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)求数列求数列nanan n 的前的前n n项和项和. .【解题指南解题指南】1.1.令令S Sn n= =两边同乘以两边同乘以 ,错位相减转化为等比数列的前,错位相减转
2、化为等比数列的前n n项和求解项和求解. .2.(1)2.(1)利用递推关系利用递推关系 求数列的通项公式求数列的通项公式. .(2)(2)根据第根据第(1)(1)问的结果利用错位相减法求数列前问的结果利用错位相减法求数列前n n项和项和. .【解析解析】1.1.令令S Sn n= = 则则 由由-得:得:所以所以S Sn n=3=3答案:答案:2.(1)2.(1)令令n=1n=1,得,得2a2a1 1-a-a1 1= =a a1 12 2,因为,因为a a1 100,所以,所以a a1 1=1=1,令令n=2n=2,得,得2a2a2 2-1=S-1=S2 2=1+a=1+a2 2,解得,解得
3、a a2 2=2.=2.当当n2n2时,由时,由2a2an n-1=S-1=Sn n,2a2an-1n-1-1=S-1=Sn-1n-1,两式相减,整理得,两式相减,整理得a an n=2a=2an-1n-1,于是数列,于是数列a an n是首项为是首项为1 1,公比为,公比为2 2的等比数列,的等比数列,所以所以a an n=2=2n-1n-1. .当当n=1n=1时,满足,故时,满足,故a an n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知nanan n=n2=n2n-1n-1,记其前,记其前n n项和为项和为T Tn n,于是,于是T Tn n=1+2=1+22+32+32
4、 22 2+ +n+n2 2n-1n-12T2Tn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n-得得-T-Tn n=1+2+2=1+2+22 2+ +2+2n-1n-1-n-n2 2n n=2=2n n-1-n-1-n2 2n n. .所以所以T Tn n=1+(n-1)=1+(n-1)2 2n n. .【规律总结规律总结】用用“错位相减法错位相减法”求数列前求数列前n n项和的类型及方法项和的类型及方法(1)(1)类型:如果数列类型:如果数列aan n 是等差数列,公差为是等差数列,公差为d d;数列;数列bbn n 是等是等比数列,公比为比数列,公比为q
5、 q,则求数列,则求数列aan nb bn n 的前的前n n项和就可以运用错位项和就可以运用错位相减法相减法. .(2)(2)方法:设方法:设S Sn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3+ +a+an nb bn n,当当q=1q=1时,时,bbn n 是常数列,是常数列,S Sn n=b=b1 1(a(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n)= )= 当当q1q1时,则时,则qSqSn n=qa=qa1 1b b1 1+qa+qa2 2b b2 2+qa+qa3 3b b3 3+ +qa+qan nb bn n=a=a1 1b
6、b2 2+a+a2 2b b3 3+ +a+an-1n-1b bn n+a+an nb bn+1n+1,所以所以(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1b b1 1+b+b2 2(a(a2 2-a-a1 1)+b)+b3 3(a(a3 3-a-a2 2)+)+b+bn n(a(an n-a-an-1n-1)-a)-an nb bn+1n+1=a=a1 1b b1 1+d+d -a -an nb bn+1n+1,所以所以S Sn n= = 【变式训练变式训练】(2015(2015重庆高二检测重庆高二检测) )已知数列已知数列aan n 是等差数列,是等差数列,bbn n 是等比数列,是等比数
7、列,a a1 1=1=1,a a3 3=3=3,b b2 2=4=4,b b5 5=32.=32.(1)(1)求数列求数列aan n ,bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设数列设数列ccn n 中,中,c cn n=a=an nb bn n,求数列,求数列ccn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解析解析】(1)(1)由已知得:由已知得:d= =1d= =1,所以,所以a an n=1+(n-1)=n.=1+(n-1)=n.q q3 3= =8= =8,q=2q=2,所以,所以b bn n=b=b2 2q qn-2n-2=2=2n n. .(2)c(2)cn n=n
8、=n2 2n n. .所以所以S Sn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n. .两边乘以两边乘以2 2得:得:2S2Sn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +n+n2 2n+1n+1. .将以上等式相减得:将以上等式相减得:-S-Sn n=1=12+22+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1=2=2n+1n+1-2-n-2-n2 2n+1n+1. .所以所以S Sn n=(n-1)=(n-1)2 2n+1n+1+2.+2.类型二类型二可化为等比数列的求和问题可化为等比数列的求和问题1.1.
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