高考数学公开课优质课件精选平面向量数量积的物理背景及其含义二.pptx
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1、平面向量数量积的物理背平面向量数量积的物理背景及其含义(二)景及其含义(二)0101执教教师:XXX1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.明目标、知重点1.向量的数量积(内积) 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab.即ab . 叫做向量a在b方向上的投影, 叫做向量b在a方向上的投影.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.(1)aeea ;(2)abab 且ab ab;|a|b|cosa,b填要点记疑点|a|b|cosa,b |a|cos |b|cos |a|cosa,b00(3)aa 或|a| ;(4)
2、cosa,b ;(5)|ab| |a|b|.3.向量数量积的运算律(1)ab (交换律);(2)(a)b (结合律);(3)(ab)c (分配律).|a|2ba(ab)a(b)acbc探要点究所然情境导学引进向量的数量积以后,考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量a、b的数量积ab虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似,实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.探究点一向量数量积运算律的提出思考1类比实数的运算律,向量的数量积是否具有类似的特征?先写出类比后的结论,再判断正误(完成下表):运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abba 结合律(ab)ca(bc)
3、 分配律(ab)cacbc 消去律abbc(b0)ac abba正确(ab)ca(bc)错误(ab)cacbc正确abbc(b0)ac错误思考2在上述类比得到的结论中,对向量数量积不再成立的有哪些?试各举一反例说明.答(ab)ca(bc)不成立,因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,c与a不一定共线,所以(ab)ca(bc),一般情况下不会成立.abbc(b0)ac不成立,如图所示.显然abbc,且ac.探究点二向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数,向量的数量积满足下列运算律:abba(交换律);(a)b(ab)a(b)(数乘结合律);(ab)cacb
4、c(分配律).思考1如何证明abba?对于实数,(a)b有意义吗?它可以转化为哪些运算?答ab|a|b|cosa,b,ba|b|a|cosb,a,a,bb,a,cosa,bcosb,a,abba.(a)b有意义,(a)b(ab)a(b).思考2如何证明(a)b(ab)a(b).(提示:分0,0,0时,(a)b|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b,(ab)|a|b|cosa,b,a(b)|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b;0时,cosa,bcosa,bcosa,b,(a)b(ab)a(b).当0时,(a)b|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b,(ab)|a|b|cosa
5、,b,a(b)|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b,0时,cosa,bcosa,bcosa,b,(a)b(ab)a(b).综上所述,(a)b(ab)a(b).思考3如何证明分配律(ab)cacbc.证明:当ab与向量c夹角为直角时,如图(1)所示,向量ab在向量c方向上的投影|ab|cosab,c ;向量a在向量c方向上的投影为|a|cosa,cOA1,向量b在向量c方向上的投影为|b|cosb,cOB1,易知OA1与OB1互为相反数,即OA1OB10.图(1)0所以|a|cosa,c|b|cosb,c|ab|cosab,c.两边乘以|c|得:|a|c|cosa,c|b|c|cosb,
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