大学课件概率论与数理统计第3章随机向量及其分布1.ppt
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1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n条件概率分布条件概率分布n随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布基本概念基本概念离散型离散型连续型连续型大家学习这一章时一定要和一维随机变量比较大家学习这一章时一定要和一维随机变量比较基本想法相同基本想法相同注意一些细节的差异注意一些细节的差异例如例如 E E:抽样调查:抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。 前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量,又称
2、为一维随机变量;然而在许多实际问题中,常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。 不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自的性各自的性质,质, 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此,系。因此, 我们将二者作为一个整体来进行研究,我们将二者作为一个整体来进行研究,记为记为(X, Y),称为称为二维二维随机变(向)量随机变(向)量。例:例:例:例:设箱中有设箱中有10个球,其中有个球,其中有3个红球,个红球,5个白个白 球,球,2个黑球;从中任意抽取个黑球;从中任意抽取4个个,观察抽球结果。观
3、察抽球结果。解:解:我们仍然希望用随机变量来数量化基本事件空间。我们仍然希望用随机变量来数量化基本事件空间。X为红球数目,为红球数目,Y为白球数目。为白球数目。X可取可取0,1,2,3;Y可取可取0,1,2,3,4。按古典概型计算得:。按古典概型计算得:注意到:注意到:04-i-j2有:有:2i+j4 设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量,则称向量量,则称向量( X X,Y Y )为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量( (X, , Y) )的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点(x,
4、y)A二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若(XX,Y Y)是是是是随机变量,随机变量,对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.n定义定义定义定义称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数(x,y)大家可以试着求第一个例子中大家可以试着求第一个例子中X,Y的联合分布函数的联合分布函数回忆:在一维随机变量中,回忆:在一维随机变量中,P(aXb)=F(b)-F(a)在二维随机变量中,在二维随机变量中, P(x1 X x2,y1 Y y2)= F(x2,y2)- F(x1,y1)?x1x2y1y2 P P(x x1 1 X X x x2 2,y y1 1 Y
5、Y y y2 2) = F(x= F(x2 2,y,y2 2)- F(x)- F(x2 2,y,y1 1)- F(x)- F(x1 1,y,y2 2) + F(x) + F(x1 1,y,y1 1) )联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P P(x x1 1 X X x x2 2,y y1 1 Y y y2 2)F(xF(x2 2,y,y2 2) )-F(x-F(x2 2,y,y1 1) )-F(x-F(x1 1,y,y2 2) )+F(x+F(x1 1,y,y1 1) )n特征性质特征性质特征性质特征性质n柯尔莫哥洛夫存在性定理柯尔莫哥洛夫存在性定理柯尔莫哥洛夫存在性定理柯尔
6、莫哥洛夫存在性定理边缘分布函数边缘分布函数n定义定义定义定义 设(设(设(设(X X X X,Y Y Y Y)的联合分布函数为)的联合分布函数为)的联合分布函数为)的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y),则两,则两,则两,则两个随机变量个随机变量个随机变量个随机变量X X X X、Y Y Y Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x)(x)(x)(x)和和和和F F F FY Y Y Y(y)(y)(y)(y),其中:其中:其中:其中:随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性n 特别,对于离散型
7、随机变量,该定义等价于特别,对于离散型随机变量,该定义等价于 n定义定义定义定义 设(设(设(设(X X X X,Y Y Y Y)的联合分布函数为)的联合分布函数为)的联合分布函数为)的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y),两个,两个,两个,两个边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y),如果对于,如果对于,如果对于,如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有F(x,y)= FF(x,y)= FX X(x
8、) F(x) FY Y(y)(y),则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X,Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 对于连续型随机变量,该定义等价于对于连续型随机变量,该定义等价于 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 (X X X X,Y Y Y Y)的所有可能取值只有限的所有可能取值只有限对或可列对,则称对或可列对,则称(X X X X,Y Y Y Y)为为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。如何反映(如何反映(X X,Y Y)的取值规律呢?)的取值规律呢?n定义定义定义定义n研究问题研究问题联想一
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- 大学 课件 概率论 数理统计 随机 向量 及其 分布