大学课件高等数学空间解析几何与向量代数.ppt
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1、第七章第七章第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数几何空间中的一些图形与方程对应起来几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代用代数方法研究了几何问题数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题讨论如下几个问题:1. 向量、向量的一些运算向量、向量的一些运算;2. 空间中的平面与直线空间中的平面与直线;3. 空间中的一些曲面和曲线空间中的一些曲面和曲线;4. 二次曲面二次曲面.在平面解析几何中在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维曾通过坐标法把二维1第一节第一节 向量及其线性
2、运算向量及其线性运算向量概念向量概念向量的向量的线性运算线性运算小结小结 思考题思考题 作业作业空间直角坐标系空间直角坐标系利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算向量的模向量的模 方向角方向角第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2向量向量既有既有向量表示向量表示模长为模长为1的向量的向量.零向量零向量 模长为模长为0的向量的向量.| |向量的模向量的模向量的大小向量的大小.单位向量单位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向以以为起点为起点,为终点的为终点的有向线段有向线段.一、向量概念一、向量概念向量及其线性运算向量及其线性运算(vector)(mo
3、dule)3自由向量自由向量不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量相等向量 大小相等大小相等且且方向相同方向相同的向量的向量.负向量负向量 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向量及其线性运算向量及其线性运算记作记作4加法加法(平行四边形法则)平行四边形法则)特殊地特殊地 若若 分为同向和反向分为同向和反向(平行四边形法则有时也称为三角形法则)(平行四边形法则有时也称为三角形法则)(1)加法定义加法定义二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加减法向量的加减法向量及其线性运算向量及其线性运算5 (2) 向量的加法符合下列运算规律向量的加法符合下列运算规律交换律
4、交换律结合律结合律减法减法(3) 减法定义减法定义向量及其线性运算向量及其线性运算62. 向量与数的乘法向量与数的乘法 (简称数乘运算简称数乘运算)注注向量向量向量的向量的“伸缩伸缩”向量向量的乘积的乘积规定为规定为同向同向,反向反向,为为向量向量.与数与数的乘积的乘积向量及其线性运算向量及其线性运算7(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律结合律结合律分配律分配律第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律线线性性运运算算向量及其线性运算向量及其线性运算由向量由向量 常用数乘运算说明常用数乘运算说明两向量平行关系两向量平行关系(两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件
5、):定理定理1平行平行,设向量设向量 存在唯一的实数存在唯一的实数 同方向的同方向的单位向量单位向量. 记作记作8下列命题是否正确下列命题是否正确错错,错错,(1) 选择题选择题 设设向量向量 互相平行互相平行,但是但是方向相反方向相反,则当则当A没有定义向量的除法没有定义向量的除法.向量不能比较大小向量不能比较大小, 只有模才能比较大小只有模才能比较大小.时时, 必有必有( )向量及其线性运算向量及其线性运算9例例 化简化简解解向量及其线性运算向量及其线性运算10例例 试用向量方法证明试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形对角线互相平分的四边形必是平行四边形必是平行四边形.证证结论得证结论
6、得证.且且向量及其线性运算向量及其线性运算11上两式相减得:上两式相减得: 设设 均均为非零向量为非零向量,其中任意两个向量其中任意两个向量 不共线不共线, 但但 与与 共线共线, 与与 共线共线. 证明:证明:证证为常数为常数.向量及其线性运算向量及其线性运算12横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系, 三个坐标轴的三个坐标轴的点点O叫做坐标原点叫做坐标原点(或原点或原点)正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 轴轴, 当右手的四个手指当右手的四个手指 从正向从正向x轴以轴以 角度角度转向正向转向正向y 轴轴时时, 大大拇指的指向就是拇指的指向就是
7、z轴轴的正向的正向. 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1.1.空间点的直角坐标空间点的直角坐标坐标系坐标系 或或坐标系坐标系.向量及其线性运算向量及其线性运算13向量及其线性运算向量及其线性运算空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限14空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: 坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点向量及其线性运算向量及其线性运算15(3) 点点M(2, - -3, 1)关于关于y 轴轴的对称点是的对称点是( ). (1) 点点M(2, - -3, 1)关于关于坐标原点坐标原点的对称点是的对称点是( );选择题选择题(2) 点点M(
8、2, - -3, 1)关于关于xOy面面的对称点是的对称点是( ) ;(A) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).ACB向量及其线性运算向量及其线性运算16为空间两点为空间两点.在在直角三角形直角三角形和和中中, 用用勾股定理勾股定理向量及其线性运算向量及其线性运算2.空间两点间点的距离空间两点间点的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式17若两点分别为若两点分别为特殊地特殊地向量及其线性运算向量及其线性运算向径向径 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M与原点构成
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