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1、数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积两向量的数量积两向量的数量积两向量的向量积两向量的向量积*向量的混合积向量的混合积小结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1实例实例启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算,定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积1. 定义定义数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积一物体在常力一物体在常力作用下沿直线从点作用下沿直线从点表示位移表示位移,所作的功为所作的功为移动到点移动到点结果是一个结果是一个向量向量数量积数量积数量数量. .2结论结论:两向量的数量积等于其中一个向量的两
2、向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.重要重要(两向量的数量积的几何意义两向量的数量积的几何意义)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积3数量积也称为数量积也称为注注关于数量积的说明关于数量积的说明:证证“点积点积”、 “内积内积”.(1)(2)(1)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积4证证此时也称此时也称(2)与与正交正交.例例数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积52. 数量积符合下列运算规律数量积符合下列运算规律(1)交换律:)交换律:(2)分配律:)分配律:(3)若)若 为数:为数
3、:若若 、 为数:为数:(可用定义证可用定义证)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积6 向量的数量积不满足消去律向量的数量积不满足消去律, 向量的数量积是否满足消去律?向量的数量积是否满足消去律?注注事实上事实上,注注? 平行于平行于 的向量的向量平行于平行于 的向量的向量即在一般情况下即在一般情况下,数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积7 解解 注注: 分配分配律律 例例 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积8 用向量的数量积用向量的数量积,证明恒等式证明恒等式: 即即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和和(如图如图)
4、.证证 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积9设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式3. 用坐标表示式计算数量积用坐标表示式计算数量积分分配配律律数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积10两向量夹角两向量夹角余弦的坐标余弦的坐标表示式表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为4. 两向量的夹角两向量的夹角 (数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积 数量积的物理意义为数量积的物理意义为 力力 推动质点从点推动质点从点A沿直线运动到点沿直线运动到点B所作的功所作的功 (即实例即实例)11解解数量积数量积
5、向量积向量积 * *混合积混合积例例求求12证证(由分配律由分配律)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例 证明向量证明向量与向量与向量垂直垂直.13下列命题是否正确下列命题是否正确错错,错错.对对.等式左边没意义等式左边没意义.错错.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积14实例实例1. 定义定义数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积二、两向量的向量积二、两向量的向量积设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点的支点,有一个力有一个力作用于这杠杆上作用于这杠杆上P点处点处.对对支点支点O的力矩是一的力矩是一向量向量它的模为它的模为力力力力的方向垂直于的方向垂直于OP与与所
6、决定的平面所决定的平面, 指向符合指向符合右手系右手系.与与OP 的夹角为的夹角为15定义定义关于向量积的说明:关于向量积的说明:/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、大小大小“外积外积”.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积向量向量向量积向量积的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系.方向方向162. 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律(2) 分配律分配律(3) 若若 为数为数证证/ (1) 反交换律反交换律数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积/17向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足交换律?
7、向量的向量积是否满足交换律?向量的向量积不满足消去律向量的向量积不满足消去律, 向量的向量积不满足交换律向量的向量积不满足交换律. 向量积有明显的物理意义向量积有明显的物理意义, P 307 例例6. 注注 注注即在一般情况下即在一般情况下, 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积18设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式3. 用坐标表示式计算向量积用坐标表示式计算向量积分分配配律律数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积19 向量积还可用向量积还可用三阶行列式表示三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出向量积的几何意义向量积的几何意义例例数量积数量积 向量积向量积 * *混合
8、积混合积不能同时为零不能同时为零,但允许两个为零但允许两个为零.表示以表示以为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积./20下列命题是否正确下列命题是否正确错错对对数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积21解解数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例 求与求与都垂直的单位向量都垂直的单位向量.22解解三角形三角形ABC的面积为的面积为数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例 已知三角形的顶点已知三角形的顶点计算从顶点计算从顶点B到边到边AC的高的长度的高的长度BD.23 求同时垂直于向量求同时垂直于向量 和和x轴的轴的 单位向量单位向量.两种方法两种方法:法
9、二法二法一法一解解用用向量积向量积. 设设x轴为轴为 单位向量为单位向量为用用数量积数量积.即可得即可得. 提示提示用用向量积向量积或或数量积数量积.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积24分析分析 即即 A、B 、D三点三点共线共线. 希自己再用法希自己再用法(2) 证证,试比较哪种方法简单试比较哪种方法简单?其方法有两种其方法有两种:证证数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积用向量证三点共线只要证明用向量证三点共线只要证明(1) 证证(2) 证证用法一用法一25 定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、三、 *向量的混合积向量的混合积设设已知三个向量已知三个向
10、量、 数量数量称为这个向量的称为这个向量的记为记为混合积混合积,数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积26向量混合积的几何意义向量混合积的几何意义关于混合积的说明:关于混合积的说明:(1)(2)(3)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积向量的混合积向量的混合积是这样的一个是这样的一个数数,它的绝对值表示它的绝对值表示以向量以向量为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积.27解解例例数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积已知已知计算计算28解解数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积由立体几何知由立体几何知,四面体的体积等于以向量四面体的体积等于以向量为棱的平
11、行六面体的体积的六分为棱的平行六面体的体积的六分之一之一.已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点A (x1, y1, z1)B (x2, y2, z2), C (x3, y3, z3), D(x4, y4, z4),求四面体求四面体例例的体积的体积.29式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积30向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积结果是一个数量、结果是一个数量、结果是一个向量、结果是一个向量、结果是一个数量、结果是一个数量、几何意义、三几何意义、三向量共面向量共面四、小结四、小结数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积几何意义、几何意义、 物理意义、物理意义、两向量垂直的充要条件;两向量垂直的充要条件;几何意义、几何意义、 物理意义、物理意义、两向量平行的充要条件;两向量平行的充要条件;的充要条件的充要条件.31思考题思考题 ( (是非题是非题) )数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积对两个非零向量对两个非零向量是是注意注意,因为因为又又所以所以32作业作业习题习题7-2 (3097-2 (309页页) ) 3. 4. 5. 6. 10. 12. 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积33