大学课件高等数学无穷级数.ppt
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1、 第十一章第十一章第十一章第十一章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数infinite series1常数项级数的概念常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件小结小结 思考题思考题 作业作业 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数constant term infinite series第一节第一节 常数项级数常数项级数的概念和性质的概念和性质2为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具( (如计算函数值、如计算函数值、出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, ,也常用无穷
2、也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, ,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,也呈现也呈现如谐波分析等如谐波分析等. .造函数值表)造函数值表). .级数来分析问题级数来分析问题, ,常数项级数的概念常数项级数的概念31. 级数的定义级数的定义(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 以上均为以上均为(常常)数项数项级数级数.(1)常数项级数的概念常数项级数的概念一、一、常数项级数常数项级数的概念的概念4这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对
3、应一个部分和数列:称无穷级数称无穷级数(1)的的2. 级数的收敛与发散概念级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数为级数(1)的的无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么?也算不完也算不完,永远永远那么如何计算那么如何计算?前前n项和项和部分和部分和.常数项级数的概念常数项级数的概念5部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可能不存在极限.定义定义则称则称无穷级数无穷级数并并写成写成即即常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).(不存在不存在)存在存在常数项级数的概念常数项级数的概念6对对收敛收敛级数
4、级数(1),为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有显然有当当n充分大时充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的极限是等价的.(1)称差称差误差误差为为常数项级数的概念常数项级数的概念7例例而而所以所以,的部分和的部分和 级数级数级数发散级数发散.常数项级数的概念常数项级数的概念8解解(重要重要)例例讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)的的收敛性收敛性.常数项级数的概念常数项级数的概念9 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上级数变为级数变为常数项级数的概念常数项级数的概念10讨论级数讨论级数的的敛散性敛散性.解解例
5、例因为因为为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以故故级数级数收敛收敛.发散发散.常数项级数的概念常数项级数的概念11解解例例 判定级数判定级数的的收敛性收敛性.常数项级数的概念常数项级数的概念12其余项为其余项为即即常数项级数的概念常数项级数的概念13例例 因为因为后式减前式后式减前式,得得证证证明级数证明级数并求其和并求其和.收敛收敛,常数项级数的概念常数项级数的概念14故故 所以所以,此级数收敛此级数收敛,且其和为且其和为2.常数项级数的概念常数项级数的概念15的部分和分别为的部分和分别为 则则于是于是也不存在极限也不存在极限.证证性质性质1 1设设常数常数则则有有相同的敛散性相同的敛
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