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1、1/27一、全微分的定义一、全微分的定义二、全微分存在的必要条件二、全微分存在的必要条件第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用三、全微分存在的充分条件三、全微分存在的充分条件四、小结四、小结2/27函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时3/27先来介绍先来介绍全增量全增量的概念的概念为了引进全微分的定义为了引进全微分的定义,全增量全增量. .域内有定义域内有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量. .一、全微分的定义一、全微分的定义4/2
2、7全微分的定义全微分的定义处的处的全微分全微分. .可表示为可表示为可微分可微分, ,在点在点则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于在在5/27注注全微分有类似一元函数微分的全微分有类似一元函数微分的两个性质两个性质: :的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小. .全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.6/27二、全微分存在的必要条件二、全微分存在的必要条件由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得多元函数
3、可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义不连续不连续的函数的函数如果函数如果函数可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.一定是一定是不可微不可微的的.定理定理1 1证证. .7/27定理定理2 2( (可微的必要条件可微的必要条件) )如果函数如果函数可微分可微分,且函数且函数的全微分为的全微分为证证. .总成立总成立,如果函数如果函数可微分可微分,8/27同理可得同理可得上式仍成立上式仍成立, 此时此时9/27如如,二元函数可微一定存在两个偏导数二元函数可微一定存在两个偏导数.但两个偏导数都存在函数也不一定可微但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数
4、定义可求得)10/27则则说明它不能随着说明它不能随着而趋于而趋于0,因此因此,如果考虑点如果考虑点沿直线沿直线趋近于趋近于 各偏导数存在只是全微分存在各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件的必要条件而不是充分条件.说明说明11/27 证证在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理3 3(今后常这样理解今后常这样理解).用微分中值定理用微分中值定理(可微分的充分条件可微分的充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续, 就含有就含有偏导数偏导数偏导数偏导数三、全微分存在的充分条件三、全微分存在的充分条件12/2713/27同理同理14/27
5、记全微分为记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质一元函数的许多微分性质,(一阶一阶)全微分形式的不变性全微分形式的不变性.同样有同样有:习惯上习惯上,称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理这里仍适用这里仍适用.如三元函数如三元函数则则15/27解解. .例例1.1.计算函数计算函数在点在点的全微分的全微分.所以所以16/27解解. .例例2.2.17/27解解. .例例3.3. 计算计算的近似值的近似值.
6、利用函数利用函数在点在点处的可微性处的可微性, 可得可得18/271、考虑二元函数、考虑二元函数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A) . (B) . (C) . (D) . 练习题练习题19/27连续连续.D结论结论不正确不正确的是的是(
7、).都存在都存在,2、20/27D3、21/274 4、是非题、是非题(非非)事实上事实上,22/27全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意:与一元函数有很大的区别注意:与一元函数有很大的区别)四、小结四、小结可微分的必要条件、可微分的必要条件、 可微分的充分条件可微分的充分条件23/27 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系:的极限、连续、可导、可微间的关系:可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系:的极限、连续、可导、可微的关系:偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导24/27在原点在原点(0,0)可微可微.并非必要条件并非必要条件.如如事实上事实上,注注两个偏导数两个偏导数在点在点连续连续可微的充分可微的充分仅是函数仅是函数在点在点条件条件,25/27于是于是,同样同样, 26/27即函数即函数f(x,y)在原点在原点(0,0)可微可微. 但是但是,事实上事实上,偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.特别是特别是 不存在不存在.即即fx(x,y)在原点在原点(0,0)不连续不连续.极限极限fy(x,y)在原点在原点(0,0)也不连续也不连续.同理可证同理可证,