大学课件高等数学下学期7-8多元函数的极值.ppt
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1、1、38一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值 三、有界闭区域上函数的最值三、有界闭区域上函数的最值四、小结四、小结2、38一、多元函数的极值一、多元函数的极值1.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义一元函数的极值一元函数的极值的定义的定义: 是在一点是在一点附近附近将函数值比大小将函数值比大小.定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点. 类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域, 为为极大值极大值.则称则称3、38 函数的极大值与极小值统
2、称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是多元函数的极值也是局部的局部的, 一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最小值.有时有时,极值极值. .极值点极值点. .内的值比较内的值比较.是与是与P0的邻域的邻域极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.注注4、38 函数是否存在极值函数是否存在极值, 在在(0,0)点取极小值点取极小值. 在在(0,0)点取极大值点取极大值. (也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极
3、值.椭圆抛物面椭圆抛物面下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面在简单的情形下是在简单的情形下是容易判断的容易判断的.函数函数函数函数(也是最小值也是最小值).函数函数5、382. .极值存在的必要条件极值存在的必要条件证证. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:有极大值有极大值,不妨设不妨设都有都有说明一元函数说明一元函数有极大值有极大值,必有必有类似地可证类似地可证6、38推广推广 如果三元函数如果三元函数具有偏导数具有偏导数, 则它在则它在有极值的有极值的必要条件必要条件为为均称为函数的均称为函数的驻点驻点极值点极值点仿照一元函数
4、仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点如如, ,驻点驻点,但不是极值点但不是极值点. 注注7、383. .极值存在的充分条件极值存在的充分条件定理定理2 2( (充分条件充分条件) )的某邻域内连续的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)有极值有极值,有极大值有极大值,有极小值有极小值;(2)没有极值没有极值;(3)可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.(用定义判定)(用定义判定)8、38求函数求函数 极值
5、的一般步骤极值的一般步骤: :第一步第一步解方程组解方程组求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值第三步第三步 定出定出的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.具有具有二阶连续偏导数二阶连续偏导数9、38例例1.1. 解解. .又又在点在点(0,0)处处, 在点在点(a,a)处处, 故故故故即即的极值的极值.在在(0,0)无极值无极值;在在(a,a)有极大值有极大值,10、38解解. .求由方程求由方程将方程两边分别对将方程两边分别对x, y求偏导数求偏导数,由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知,驻点
6、为驻点为将上方程组再分别对将上方程组再分别对x, y求偏导数求偏导数,例例2.2. 11、38故故函数在函数在P有极值有极值.代入原方程代入原方程,为极小值为极小值;为极大值为极大值.所以所以所以所以12、38取得取得. .然而然而, ,如函数在个别点处的如函数在个别点处的偏导数不存在偏导数不存在, ,这些点当然不是驻点这些点当然不是驻点,如如: :函数函数不存在不存在, ,但函数在点但函数在点(0,0)处都具有极大值处都具有极大值. . 在研究函数的极值时在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外除研究函数的驻点外,还应研究还应研究偏导数不存在的点偏导数不存在的点. .由由极值的必要条件知极值的
7、必要条件知, ,极值只可能在驻点处极值只可能在驻点处但但也可能是极也可能是极值值点点.在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数注释注释13、38对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值.其他条件其他条件.无条件极值无条件极值对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外, 并无并无条件极值条件极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法14、38解解. .例例3.3.已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大?各取什么值时长方体的体积最大?设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为.由题意由题
8、意长方体的体积为长方体的体积为且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,体体积最大体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6时长方时长方由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,15、38上例的极值问题也可以看成是求三元函数上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值的极值,要受到条件要受到条件的限制的限制, 这便是一个条件极值这便是一个条件极值问题问题.目标函数目标函数约束条件约束条件 有时有时条件极值条件极值目标函数中化为目标函数中化为无条件极值无条件极值.可通过将约束条件代入可通过将约束条件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的. 下面要介绍解决下
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