《大学物理刚体力学.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学物理刚体力学.ppt(27页珍藏版)》请在启牛文库网上搜索。
1、质量密度量密度在分析在分析刚体运体运动过程中,可假定各程中,可假定各质元的相元的相对位置保持不位置保持不变。质元具有质量质元具有质量体分布体分布面分布面分布线分布线分布4-1-2刚体的平动和转动刚体的平动和转动图4-1 刚体的平动平动平动:刚体在运动中,连接刚体上任意两点的直线,在各时刻始终保持彼:刚体在运动中,连接刚体上任意两点的直线,在各时刻始终保持彼 此平行此平行转动转动:刚体上所有质元都绕同一直线:刚体上所有质元都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动图4-3线速度和角速度之间的矢量关系4-2-1力矩力矩刚体定轴转动定理4-2-3 转动惯量转动惯量J【例例4-1】计算质量为计算质量
2、为m,半径为,半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。转动惯量。 图4-7 圆盘通过中心轴的转动惯量解解 由于由于质量均匀分布,量均匀分布, 单位面位面积上的上的质量量为,在在圆盘上取一半径上取一半径为r宽度度为dr的窄的窄圆环,其中所有,其中所有质点到点到转轴的距离都是的距离都是r,该环的面的面积为质量量为对轴的的转动惯量量为因而因而对通通过盘心且与心且与盘面垂直的面垂直的轴的的转动惯量量为 由于由于J与与圆盘厚度无关,厚度无关,显然,它也适用于然,它也适用于圆柱体。柱体。4-2-4刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用【例例4-3
3、】阿特伍德机。阿特伍德机。 跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂质量为跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂质量为m1和和m2的物体,设的物体,设m1m2。滑轮可。滑轮可看作为密度均匀的圆盘,半径为看作为密度均匀的圆盘,半径为R,质量为,质量为m。忽略转轴对滑轮的摩擦,并。忽略转轴对滑轮的摩擦,并且绳与滑轮之间无相对滑动,求两物体的加速度及绳中张力且绳与滑轮之间无相对滑动,求两物体的加速度及绳中张力T1和和T2。解解:分分别列出列出动力学方程力学方程,得得:m1: m2: 滑滑轮m: 关关联方程:方程: 联立求解,可得立求解,可得 , 【例例4-44-4】如如图,一根一根长为l,质量量为m的匀的匀质细杆,可杆,可绕
4、水平光滑水平光滑轴在在竖直直平面内平面内转动,最初棒静止在水平位置,求它下,最初棒静止在水平位置,求它下摆角角时的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。解解 杆在下摆运动中作顺时针转动,选取向内为转轴正向。杆在下摆运动中作顺时针转动,选取向内为转轴正向。 杆下杆下摆到到角度角度时,它所,它所产生的重力矩生的重力矩为在杆上取在杆上取dx小段,其小段,其质量量整个杆受的重力矩整个杆受的重力矩为 根据根据转动定律,可得棒的角加速度定律,可得棒的角加速度为 4-3-1力矩的功力矩的功4-3-2刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能4-3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理4-3-4 刚体的
5、重力势能刚体的重力势能【例例4-6】如图,绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上,另一端与一质如图,绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上,另一端与一质 量量为m=2.00 kg的物体相的物体相连,已知定滑,已知定滑轮质量量M=1.00 kg,半径,半径R=0.100m,且,且轴承光滑,定滑承光滑,定滑轮转动惯量量,其初角速度,其初角速度方向垂直于方向垂直于纸面向内,求面向内,求(1)定滑定滑轮的角加速度的角加速度(2)定滑定滑轮角速度角速度变化到化到时,物体上升的高度。,物体上升的高度。=5.00rads,解解 (1)研究定滑研究定滑轮的的转动,选向内作向内作为转轴正向,重力、正向,重力、轴
6、支撑力支撑力对转轴力力矩矩为零,零,对转动没有影响,没有影响,绳张力力对转轴力矩力矩为根据根据转动定律,有定律,有 选x轴向上,根据牛向上,根据牛顿定律,有定律,有 T-mg=ma (2)研究物体研究物体m、定滑、定滑轮M及地球及地球组成的系成的系统,在物体,在物体m上升、定滑上升、定滑轮转动过程中,机械能守恒,程中,机械能守恒,选开始开始m所在所在处为重力重力势能零点,有能零点,有 式中,式中,代人数据,解得代人数据,解得 h=0.0159 m4-4-1 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体在一段时间内所受的冲量矩,等于刚体在这段时间内角动量的增量刚体在一段时间内所受的冲量矩
7、,等于刚体在这段时间内角动量的增量 4-4-2 刚体刚体(质点系质点系)定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律【例例4-7】 如图,匀质杆质量为如图,匀质杆质量为M,长,长l,可绕通过中点的光滑轴在铅垂面,可绕通过中点的光滑轴在铅垂面内旋转。开始杆竖直静止。有一子弹质量为内旋转。开始杆竖直静止。有一子弹质量为m,以水平速度,以水平速度v射入杆的下端而不射入杆的下端而不复出,求复出,求(1)杆和子弹开始一起旋转时的角速度;杆和子弹开始一起旋转时的角速度;(2)碰撞过程水平方向碰撞过程水平方向(图中图中x方方向向)动量是否守恒,为什么动量是否守恒,为什么?如不守恒,求出动量增量;如不守恒
8、,求出动量增量;(3)求出碰撞过程机械能求出碰撞过程机械能的损失;的损失;(4)求杆相对铅垂线偏转的最大角度。求杆相对铅垂线偏转的最大角度。解解 (1)碰撞过程经历的时间极短,因此,系统所受外力碰撞过程经历的时间极短,因此,系统所受外力(重力与轴的支持力重力与轴的支持力)对于对于轴轴O的力矩都为零,因而系统对轴的力矩都为零,因而系统对轴O的角动量守恒。的角动量守恒。 碰前角碰前角动量量碰后角碰后角动量量为子子弹与杆与杆组成的系成的系统相相对于于O的的转动惯量,且:量,且: 由角由角动量守恒量守恒 (2)在在质点与点与刚体体(杆杆)碰撞碰撞过程中,程中,动量一般不守恒,量一般不守恒,这是因是因为
9、转轴对杆有作杆有作用力,并且用力,并且该作用力与子作用力与子弹和杆的相互作用力和杆的相互作用力(冲力冲力)有关,因而不可忽略。有关,因而不可忽略。碰撞前水平方向的碰撞前水平方向的动量量为mv,碰后,由于,碰后,由于对称性,杆沿水平方向的称性,杆沿水平方向的总动量量仍仍为零,子零,子弹在水平方向的在水平方向的动量量为动量增量量增量为这说明明轴对杆的作用力在杆的作用力在x轴方向分量方向分量为负值。系。系统动量减小。量减小。动量增量量增量为这说明明轴对杆的作用力在杆的作用力在x轴方向分量方向分量为负值。系。系统动量减小。量减小。 (3)由于碰撞由于碰撞过程程势能不能不变,机械能,机械能损失就是失就是
10、动能的能的损失,碰撞前系失,碰撞前系统总动能能碰撞后系碰撞后系统总动能能得机械能的增量得机械能的增量 即在子即在子弹射入并停留在杆的射入并停留在杆的过程中,程中,发生了完全非生了完全非弹性碰撞性碰撞过程,程,机械能的机械能的损失失为说明,明,质点与点与绕定定轴转动的的刚体碰撞体碰撞过程中角程中角动量一定守恒。量一定守恒。但但动量不一定守恒,机械能也不一定守恒量不一定守恒,机械能也不一定守恒(完全完全弹性碰撞性碰撞则机械能守恒机械能守恒)。 (4)在杆开始在杆开始转动到杆到杆转到最大偏到最大偏转角角的系的系统,机械能守恒。如,机械能守恒。如图,以杆下端最低点作,以杆下端最低点作为重力重力势能零点
11、,能零点,则杆开始杆开始转动时的机械能的机械能为 的过程中,研究杆、子弹和地球组成的过程中,研究杆、子弹和地球组成杆杆转到最大角度到最大角度时的机械能的机械能(动能能为零零)为。由机械能守恒,由机械能守恒,El=E2,则有有【例例4-8】 如图,质量为如图,质量为M,半径为,半径为R的转盘,可绕通过中心的的转盘,可绕通过中心的竖直轴转动,阻力忽略不计。竖直轴转动,阻力忽略不计。 开始开始质量量为m的人相的人相对转盘静止在离静止在离转轴中心中心处。开始系。开始系统以角速度以角速度旋旋转。然后人相。然后人相对于于盘以速度以速度v作半径作半径为R/2的的圆周运动圆周运动(与原转动方向相反与原转动方向相反),求转盘相对于地的角速度。,求转盘相对于地的角速度。 解解 研究人与转盘系统,外力矩为零,因而角动量守恒研究人与转盘系统,外力矩为零,因而角动量守恒 开始系开始系统绕轴角角动量量为(向上向上为转轴正向正向) 设人相人相对盘转动后任意后任意时刻刻t,人相,人相对地的角速度地的角速度为盘相相对于地角速度于地角速度为根据相根据相对运运动,有,有上式沿上式沿转轴方向投影式方向投影式为:根据相根据相对运运动,有,有 为负值是因是因为与与转轴正向相反,正向相反,t时刻系刻系统角角动量量为 角角动量守恒量守恒为