优质实用课件精选函数极限的性质.ppt
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1、函数极限的性质函数极限的性质执教教师:执教教师:XXXXXX3.2 3.2 函数极限的性质函数极限的性质一一.极限的性质极限的性质二二 . 利用函数极限的性质计算某些函利用函数极限的性质计算某些函数的极限数的极限v定理3.2 如果当如果当xx0时时f(x)的极限存的极限存 那么这极限是唯一的那么这极限是唯一的 证明, x x f B A 时的极限时的极限 当当 都是都是 设设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ A x f x x 时有时有 当当 则则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - -
2、 - $ $ B x f x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时时 则当则当 取取 , x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d d d d d - - . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e - - + + - - - - - - - - - - B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一即其极限唯一 的任意性得的任意性得 由由 B A e e (1)(2)一一 函数极限的性质函数极限的性质1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性若极限若极限 存在, 则函数在的某一空 心邻域
3、上有界。 证明证明 有有 使得使得 则则 取取 设设 ) ; ( , 0 , 1 , ) ( lim 0 0 d d d d e e x U x A x f x x o o $ $ . 1 ) ( 1 ) ( + + - - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界内有界 在在 即即 d d x U x f o o 3. 局部局部保号性保号性定理定理3.4证明证明 设设A0,对任何对任何0,使得对一切使得对一切这就证得结论这就证得结论.对于对于A 0的情形可的情形可类似地证明类似地证明.推论推论v定理3.4(函数极限的局部保号性) 如果如果f(x)A(xx0) 而且而且A 0
4、(或或A 0) 那么对那么对任何正数任何正数rA (或或 r 0 (或或f(x) -r 0) 证明) ; ( , 0 , ), 1 , 0 ( , 0 0 d d d d e e x U x r A r A $ $ - - 使得使得 则则 取取 设设 . ) ( r A x f - - e e 有有 . 0 的情形类似可证的情形类似可证 对于对于 r 推论 如如果果在在x0的的某某一一去去心心邻邻域域内内f(x) 0(或或f(x) 0) 而而且且 f(x)A(xx0) 那么那么A 0(或或A 0) 3. 局部保号性局部保号性v定理3.5(函数极限的保不等式性) 证明). ( lim ) ( l
5、im ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则则 内有内有 极限都存在且在极限都存在且在 时时 如果如果 d d o o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x 设设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - - - $ $ e e d d d d e e 时有时有 当当 则则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ B x g x x 时有时有
6、当当 于是有于是有 同时成立同时成立 与与 不等式不等式 时时 则当则当 令令 , x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - d d d d d d d d d d , ) ( ) ( e e e e + + - - B x g x f A . , 2 B A B A + + 的任意性知的任意性知 由由 从而从而 e e e e 4 保不等式保不等式推论推论v定理3.6 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x)满足下列条件满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x) (2)lim g(x) A lim h(x)
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