高等数学下册chap2导数与微分2-1导数概念.ppt
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1、一、导数概念引例一、导数概念引例三、函数可导性与连续性之间的关系三、函数可导性与连续性之间的关系 四、经济学中的变化率问题四、经济学中的变化率问题二、导数的定义二、导数的定义第一节第一节 导数概念导数概念一、导数概念引例一、导数概念引例例例1 1变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0). 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.解解若运动是若运动是匀速的匀速的, 平均速度就等于质点平均速度就等于质点关系关系质点走过的路程质点走过的
2、路程此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算它越近似的它越近似的定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值, 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度注注注注方法方法,例例2 2割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知
3、平面曲线如何作过如何作过的切线呢的切线呢. 初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线. 如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求法法,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.处切线的斜率处切线的斜率.已知曲线的方程
4、已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,极限位置即极限位置即C在点在点M处的处的切线切线.如图如图,割线割线MN的斜率为的斜率为切线切线MT的斜率为的斜率为 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量1. 在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数求求y关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2. 计算方法上计算方法上,(1) 当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法.(2) 当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时,需作平均变化率的需作平均变化率
5、的上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,极限运算极限运算:二、导数的定义二、导数的定义定义定义函数函数与自与自平均变化率平均变化率. .中的任何一个表示中的任何一个表示,存在存在,如如平均变化率的极限平均变化率的极限:或或或有导数或有导数. 可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f
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