大学课件高等数学傅里叶Fourier级数.ppt
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1、1三角函数系的正交性三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数小结小结 思考题思考题 作业作业( (傅氏级数傅氏级数Fourier series)问题的提出问题的提出第六节第六节 傅里叶傅里叶( (Fourier) )级数级数正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数2 上一节详细研究了一种重要的函数项级数上一节详细研究了一种重要的函数项级数: :幂级数幂级数. . 下面研究另一种重要的函数项级数下面研究另一种重要的函数项级数: :这种级数是由于这种级数是由于研究周期现象的需要而研究周期现象的需要而产生产生的的.它在电工、力学和许多学科中都有很它在
2、电工、力学和许多学科中都有很重要的应用重要的应用. 傅里叶傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和法国数学家和物理学家物理学家. 法国科学院院士法国科学院院士,英国皇家学会会员英国皇家学会会员.傅里叶傅里叶级数级数. .傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数3傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1757年年, ,法国数学家克莱罗在研究太阳引法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时起的摄动时, , 1759年年, ,拉格朗日在对声学的研究中也使用拉格朗日在对声学的研究中也使用了了三角级数三角级数. . 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角用三角函数的正交性得到了将函数表示
3、成三角1777年年, ,欧拉在研究天文学的时候欧拉在研究天文学的时候, ,级数时的系数级数时的系数, ,也就是现今教科书中傅里叶级数也就是现今教科书中傅里叶级数的系数的系数. .大胆地采用了大胆地采用了历史朔源历史朔源三角级数三角级数表示函数表示函数: :4微分方程是分不开的微分方程是分不开的. .析学的发展析学的发展. .形所采用的三角级数方法进行加工处理形所采用的三角级数方法进行加工处理, ,1753年年, ,的解表示为三角级数的形式的解表示为三角级数的形式, ,这为函数的傅里叶这为函数的傅里叶展开这个纯数学问题奠定了物理基础展开这个纯数学问题奠定了物理基础, ,促进了分促进了分在历史上在
4、历史上, ,丹丹 贝努利首先提出将弦振动方程贝努利首先提出将弦振动方程1822年年, ,傅里叶在傅里叶在热的解析理论热的解析理论一书中一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情特殊的情发展成发展成一般理论一般理论. .三角级数的出现和发展三角级数的出现和发展与求解与求解傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数5一、问题的提出一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中在自然界和人类的生产实践中, 周而复始周而复始的现象的现象, 周期运动是常见的周期运动是常见的.如行星的飞转如行星的飞转,飞轮的旋转飞轮的旋转,蒸气机活塞的蒸气机活塞的往复运动往复运动,物体的振动
5、物体的振动,声、光、电的波动等声、光、电的波动等.数学上数学上,用周期函数来描述它们用周期函数来描述它们. 最简单最基本最简单最基本的周期函数是的周期函数是谐函数谐函数周期周期振幅振幅时间时间角频率角频率初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动正弦型函数正弦型函数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数6如矩形波如矩形波不同频率正弦波不同频率正弦波除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函数非正弦周期函数,较复杂的较复杂的周期现象周期现象逐个叠加逐个叠加分解分解傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数7傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数8傅里叶傅里叶(Fourier)级数级
6、数9傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数10傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数11傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数12设想设想一个较复杂的周期运动一个较复杂的周期运动(如矩形波如矩形波)分解分解为简谐振动的迭加为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便会给分析问题带来方便. 是把一个复杂的是把一个复杂的周期函数周期函数 f(t)反映在数学上反映在数学上,的迭加的迭加,表示为各类表示为各类正弦函数正弦函数谐波分析谐波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式,变形为变形为即即傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数13 三角级数三角级数函数函数 f (t) 满足什么条件满足什么条件,系数系数
7、才能展为才能展为如何确定如何确定? 为简便计为简便计,先来讨论以先来讨论以 为周期的函数为周期的函数 f(x),解决上述问题起着关键作用的是解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性三角函数系的正交性(orthogonality).三角级数三角级数?傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数14三角函数系三角函数系二、三角函数系的二、三角函数系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积在一个周期长的区间在一个周期长的区间 而任而任一个函数的自乘一个函数的自乘(平方平方)在在 即有即有傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数orthogona
8、lity15傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数161.1.傅里叶系数傅里叶系数 (Fourier coefficient)利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性两边积分两边积分傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数17利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数18利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数19则则希自己证明希自己证明傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数201993,研究生考题研究生考题,填空填空,3分分解解由由傅里叶系数公式傅里叶系数公式偶
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