2020届高考数学(文)一轮复习讲义第7章7.2均值不等式及其应用.docx
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1、7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查,作为求最值的方法,常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查,难度为中档.1均值不等式:(1)均值不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR)(2)2(a,b同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2 (a,bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均值为,几何平均值为,均值不等式可叙述为
2、两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值4利用均值不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值2.(简记:积定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最大值.(简记:和定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?提示不一定若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗?提示不是因为函数yx的定义域是x|x0,当x0时,y0且y0”是“2”的充要条件()(3)(ab)24ab(a,bR)()(4)若a0,则a3的最小
3、值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二教材改编2设x0,y0,且xy18,则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0,y0,即xy281,当且仅当xy9时,(xy)max81.3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m,面积为y m2,则另一边为(202x)(10x)m,其中0x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析当x0时,x22.因为x,同号,所以若x2,则x0,0
4、,所以“x0”是“x2成立”的充要条件,故选C.5若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值,则a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析当x2时,x20,f(x)(x2)2224,当且仅当x2(x2),即x3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x3,即a3,故选C.6若正数x,y满足3xy5xy,则4x3y的最小值是()A2 B3 C4 D5答案D解析由3xy5xy,得5,所以4x3y(4x3y)(492)5,当且仅当,即y2x时,“”成立,故4x3y的最小值为5.故选D.题型一利用均值不等式求最值命题点1配凑法例1 (1)已知0x1)的最小值为_答案22解析x1,x10,y(x1)222.当
5、且仅当x1,即x1时,等号成立命题点2常数代换法例2 (2019大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列an中,满足amaa(m,nN+),则的最小值为()A1 B. C2 D.答案A解析由题意可得,a1q,amaa,a1qm1(a1qn1)2(a1q3)2,即qmq2nq8,即m2n8.(m2n)1.当且仅当m2n时,即m4,n2时,等号成立命题点3消元法例3 已知正实数a,b满足a2b40,则u()A有最大值 B有最小值C有最小值3 D有最大值3答案B解析a2b40,ba24,aba2a4.又a,b0,u3333,当且仅当a2,b8时取等号故选B.思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相
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- 2020 高考 数学 一轮 复习 讲义 7.2 均值 不等式 及其 应用