《2020届高考数学(理)一轮复习讲义5.3平面向量的数量积.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020届高考数学(理)一轮复习讲义5.3平面向量的数量积.docx(17页珍藏版)》请在启牛文库网上搜索。
1、5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a,b,作a,b,则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b.(2)范围向量夹角a,b的范
2、围是0,且a,bb,a.(3)向量垂直如果a,b,则a与b垂直,记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图),作a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cosa,b.(2)向量数量积的性质如果e是单位向量,则aeea|
3、a|cosa,e;abab0;aa|a|2,|a|;cosa,b (|a|b|0);|ab|a|b|.(3)向量数量积的运算律交换律:abba.对R,(ab)(a)ba(b).分配律:(ab)cacbc.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a(a1,a2),b(b1,b2),则aba1b1a2b2;aba1b1a2b20;|a|;cosa,b.概念方法微思考1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗?提示不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos ,而b在a方向上的正投影为|b|cos ,其中为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?提示不一定.当夹角为0
4、时,数量积也大于0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量,而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc).()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0,|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x,cos x1,当cos x时,f(x)取得最小值;当cos x1时,f(x)取得最大值1.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标
5、中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中,已知向量m,n(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解(1)因为m,n(sin x,cos x),mn.所以mn0,即sin xcos x0,所以sin xcos x,所以tan x1.(2)因为|m|n|1,所以mncos ,即sin xcos x,所以sin,因为0x,所以x0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义式可知,若ab0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有ab0,所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.2.已知向量a(1,1),b(2,3),若ka2b与a垂直,则实数k的值为()A.1 B.1 C.2 D.2答案B解析向量a(1,1),b(2,3),则ka2b.若ka2b与a垂直,则k4k60,解得k1.故选B.3.(2018乌海模拟)已知向量a,b满足|a|1