高中数学竞赛-几个重要不等式及其应用.doc
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1、 1 几个重要不等式及其应用几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的,应用极为广泛。 1、算术、算术-几何平均值(几何平均值(AM-GM)不等式)不等式 设12,na aa是非负实数,则1212.nnnaaaa aan+ 2、柯西(、柯西(Cauchy)不等式)不等式 设,(1,2,)iia bR in=,则222111.nnniii iiiiabab=等号成立当且仅当存在R,使,1,2, .iiba in= 变形() :设+RbRaii,,则=niiniiniiibaba12112;等号成立当且仅当存在R, 使,1,2, .ii
2、ba in= 变形()设iiba ,同号,且0,iiba,则=niiiniiniiibaaba1211。等号成立当且仅当nbbb=21 3排序不等式排序不等式 设nnnjjjbbbaaa,212121是n, 2 , 1的一个排列,则 nnjjjnnnbababababababababan+2211321112121. 等号成立当且仅当 naaa=21或nbbb=21。 (用调整法证明). 4琴生(琴生(Jensen)不等式)不等式 若( )xf是区间()ba,上的凸函数,则对任意的点()baxxxn,21*()nN有 ( )()()12121().nnxxxff xf xf xnn+等号当且仅
3、当nxxx=21时取得。 (用归纳法证明) 二、进一步的结论二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论,有时用这些结论也会起到意想不到的效果。 1. 幂均值不等式幂均值不等式 设0,), 2 , 1(niRai=+,则 2 MnaaanaaaMnn=+=121121。 证:证:作变量代换,令iixa=,则1iixa =,则 +nxxxxxxnMMnn21211 0,1,又函数) 1()(=pxxfp是()+, 0上的凸函数,由 Jensen 不等式知式成立。 2.(切比雪夫不等式)(切比雪夫不等式) 设两个实数组nnbbbaaa2121,,则 ()()nnnii
4、niinnnbababannbnabababan+=221111112111 等号成立当且仅当naaa=21或nbbb=21。 证:证:由排序不等式有: nnnnnnnbababababababababa+221122111121, nnnnnnbababababababababa+2211132211121, nnnnnnnnbababababababababa+221111211121 以上 n 个等式相加即得。 3. 一个基础关系式一个基础关系式 yxyx)1 (1+,其中 1 , 0, 0,yx 证:证:若 x,y 中有一个为 0,则显然成立。 设 x,y 均不为零,则原不等式+1yx
5、yx,令tyx=,则上式)1 (+tt,记tttf+=)1 ()(,则1)(=ttf,因此,当1t时,0)( tf,当10 t时,0)( tf,且0) 1 (= f,所以)(tf得极小值为0) 1 (=f,故0)1 (+tt,即yxyx)1 (1+. 4. Holder 不等式不等式 设1,), 2 , 1(0,=qpnkbakk且111=+qp,则 3 qnkqkpnkpknkkkbaba11111= 等号成立当且仅当存在Rt使得), 2 , 1(nktbaqkpk=。 证证: 在上面基础关系式中,取,1qkpkByAxp=有qkpkkkBqApBA11+ 式两边对 k 求和,得:=+nkq
6、knkpknkkkBqApBA11111,令qnkqkkkpnkpkkkbbBaaA1111,=, 代入上式即证。 5. 一个有用的结论一个有用的结论 设+Rbaii,,则=+ninininininiibaba111111)(,推广得 设), 2 , 1, 2 , 1( ,njniRaij=+,则 =njnniijninnjijaa111111)()(. 证:证:原不等式1)(11121+ =nnjniiniiijaaaa, 而)(1)(1211121=+niiniiijnniiniiijaaaanaaaa =+njniiniiijnnjniiniiijaaaanaaaa112111121)(
7、1)(1111)(111121=+= =nnnaaaannininjiniiij,它可把含根式的积性不等式化为和式。 三、如何运用几个重要不等式三、如何运用几个重要不等式 例例 1 设+Rcba,且1=abc,求证:333222cbacba+。 证:证:由柯西不等式有2222333)()(cbacbacba+ 而+=+)(111 ()( 3222222222cbacba+2)(cba33)(abccba+ )( 3cba+,即cbacba+222 由有:+)(333cbacba)(222cbacba+,333222cbacba+ 方法二:由幂均值不等式有: 4 =+23222333)3( 3c
8、bacba)3(3222cba+21222)3(cba+ 22221322222233)(cbacbacba+=+。 方法三:由切比雪夫不等式和 AM-GM 不等式有:不妨设cba,则 +3)(222333cbacbacba222322233)(cbaabccba+=+ 例例 2 设1), 2 , 1( , 01=niiixnix,求证:1111=nxxxniiniii 证:证:左边=niiniininiiixxnxx1121111111 2112111212112)1 () 1()1 () 1(=niininiinixxn 11)11 (1) 1() 1(1222+=nxnxnnnnnnnn
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