高一数学专题函数与方程思想.doc
《高一数学专题函数与方程思想.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学专题函数与方程思想.doc(11页珍藏版)》请在启牛文库网上搜索。
1、第第 1 讲讲 函数与方程思想函数与方程思想 1函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等 (2)方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静,研究运动中的等量
2、关系 2和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 yf(x),当 y0 时,就化为不等式 f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式 (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要 (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解 (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运
3、用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切. 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例 1 (1)f(x)ax33x1 对于 x1,1总有 f(x)0 成立,则 a_. (2)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0,且 g(3)0,则不等式 f(x)g(x)0 即 x(0,1时,f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3. 设 g(x)3x21x3,则 g(x)3(12x)x4,所以 g(x)在区间0,12上单调递增,在区间12,1 上单调递减, 因此 g(x)maxg124,从而 a4; 当 x0 即 x1,
4、0)时, f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3, 设 g(x)3x21x3,且 g(x)在区间1,0)上单调递增, 因此 g(x)ming(1)4,从而 a4,综上 a4. (2)设F(x)f(x)g(x), 由于f(x), g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),即 F(x)在 R 上为奇函数 又当 x0, 所以 x0 时,F(x)也是增函数 因为 F(3)f(3)g(3)0F(3) 所以,由图可知 F(x)0 或 f(x)0 或 f(x)max32 Cm32 Dm0 恒成立, 所以 f(x)在1,)上是增函数, 故当 x1
5、 时,f(x)minf(1)3, 即当 n1 时,(bn)max16, 要使对任意的正整数 n,不等式 bnk 恒成立, 则须使 k(bn)max16, 所以实数 k 的最小值为16. 思维升华 (1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二”; (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式,因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思想求解 (1)(2014 江苏)在各项均为正数的等比数列an中,若 a21,a8a62a4,则a6的值是_ (2)已知函数 f(x)(13)x,等比数列an的前 n 项和为 f(n)c,则 an的最小值为(
6、) A1 B1 C.23 D23 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因为 a8a2q6,a6a2q4,a4a2q2,所以由 a8a62a4得 a2q6a2q42a2q2,消去a2q2,得到关于 q2的一元二次方程(q2)2q220,解得 q22,a6a2q41224. (2)由题设,得 a1f(1)c13c; a2f(2)cf(1)c29; a3f(3)cf(2)c227. 又数列an是等比数列, (29)2(13c)(227),c1. 又公比 qa3a213, an23(13)n12(13)n,nN*. 且数列 an是递增数列, n1 时,an有最小值 a123. 热点三 函数与方程思想
7、在几何中的应用 例 3 已知椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为22.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当AMN 的面积为103时,求 k 的值 解 (1)由题意得 a2,ca22,a2b2c2,解得 b 2. 所以椭圆 C 的方程为x24y221. (2)由 yk(x1),x24y221得(12k2)x24k2x2k240. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1x24k212k2,x1x22k2412k2. 所以|MN| (x2x1)2(y2y1)2 (1k2)(x1
8、x2)24x1x2 2 (1k2)(46k2)12k2. 又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d|k|1k2, 所以AMN 的面积为 S12|MN| d|k| 46k212k2. 由|k| 46k212k2103,解得 k 1. 所以,k 的值为 1 或1. 思维升华 几何最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 (1)(2014 安徽)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2y2b21(0b1,则双曲线x2a2y2(a1)21
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 专题 函数 方程 思想