高中数学专题2.9函数图象高与低差值正负恒成立解析版.doc
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1、【题型综述】数形结合好方法:对于函数与的函数值大小问题,常常转化为函数的图象在 上方(或下方)的问题解决,而函数值的大小论证则常以构造函数,即利用作差法,转化为论证恒成立问题.【典例指引】例1设函数.(1)若当时,函数的图象恒在直线上方,求实数的取值范围;(2)求证: .【思路引导】(1)将问题转化为不等式在上恒成立,求实数的取值范围的问题。可构造函数,经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。(2)先证明对于任意的正整数,不等式恒成立,即恒成立,也即恒成立,结合(1)的结论,当, 时在上成立,然后令可得成立,再令即可得不等式成立。当时,有,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,所以,不合题意
2、;当时,令,则当时, ,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,所以,而且仅有,不合题意.综上所求实数的取值范围是.学*科网(2)对要证明的不等式等价变形如下:对于任意的正整数,不等式恒成立,即恒成立,变形为恒成立,在(1)中,令, ,则得在上单调递减,所以,即,令,则得成立.当时,可得.即,所以成立。学*科网点睛:本题难度较大,解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在(1)中将问题转化为不等式恒成立的问题处理,在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。(2)中的问题更是考查学生的观察分析问题的能力,在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形,并利用上一问的结论来解决,所以需要
3、学生具有较强的想象力。例2已知函数,(为常数,其中是自然对数的底数)(1)讨论函数的单调性;(2)证明:当且时,函数的图象恒在的图象上方【思路引导】(1)求出函数的导数,利用导数判断的单调性,并求出单调区间;(2)构造函数,利用导数证明在上为增函数,且求得得答案.点睛:本题考查函数导数的综合应用问题,考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法,是中档题;利用导数求解函数单调性的一般步骤:(1)确定的定义域;(2)计算导数;(3)求出的根;(4)用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间:,则在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;,则在对应区间上是减函数,
4、对应区间为减区间.例3已知函数,为其导函数.(1) 设,求函数的单调区间;(2) 若, 设,为函数图象上不同的两点,且满足,设线段中点的横坐标为 证明:.【思路引导】(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,得增区间,得减区间即可;(2)问题转化为证明令 ,根据函数单调性证明即可. (2) 法一:,故在定义域上单调递增.只需证:,即证 (*)学*科网注意到 不妨设. 令,则 ,从而在上单减,故, 即得(*)式. 取,则显然有, 从而,另外由三次函数的中心对称性可知,则有 .学*科网【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题
5、的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【同步训练】1已知函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,若,证明:当时, 的图象恒在的图象上方;(3)证明: .【思路引导】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)时,设,求出函数的导数,利用导数性质推导出恒成立,由此能证明的图象恒在图象的上方;(3)由,设,求出函数的导数,从而,
6、令,得,从而证明结论成立即可. 点睛:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,由,得函数单调递增, 得函数单调递减;考查将问题转化为恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解,此题最大的难点在于构造法证明不等式.2已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在上有两个不同的零点,求实数的取值范围;(3)是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,请求出最大整数的值;若不存在,请说理由.(参考数据: , ).【思路引导】(1)求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解;(2)利用参
7、数分离法,转化为两个函数有两个不同的交点即可;(3)的图象在的图象的下方,等价为对任意的, 恒成立,利用参数分离法,结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可.(3)假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立. 学*科网即对恒成立.令,则, 令,则,因为在上单调递增, , ,且的图象在上不间断,所以存在,使得,即,则,所以当时, 单调递减;当时, 单调递增,则取到最小值 ,14分所以,即在区间内单调递增.所以,所以存在实数满足题意,且最大整数的值为.学*科网3已知函数 (1)当a=1时,x01,e使不等式f(x0)m,求实数m的取值范围;(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=
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