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1、数列一、选择题1记等差数列的前项和为. 若,则A16 B24 C36 D482记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差A、2 B、3 C、6 D、73设等比数列的公比,前项和为,则(A)2 (B)4 (C) (D) 4已知数的前项和,第项满足,则A9 B8 C7 D65已知是等差数列,其前10项和,则其公差6已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于A3 B2 C1 D二、填空题1已知an为等差数列,则_2已知是等差数列,其前5项和,则其公差三、计算题1设为实数,是方程的两个实根. 数列满足,()(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,求的前项和【解析】(1)由求根公式,不妨设,得,(2
2、)设,则,由 得,消去,得,是方程的根,由题意可知, 当时,此时方程组的解记为 或即、分别是公比为、的等比数列,由等比数列性质可得,两式相减,得, , 即, 当时,即方程有重根, ,即,得,不妨设,由可知,即,等式两边同时除以,得,即数列是以1为公差的等差数列,,综上所述,(3)把,代入,得,解得 【试题解析】第一小问是证明韦达定理,我们只需将两根解出来就马上能把定理证明出来. 本题的核心是第二小问,也是计算量最大、最复杂的一小问. 此时题目要求我们用、将数列的通项表示出来,我们的突破点是叠加法的应用和临时参量、的引用. 【高考考点】等比数列、数列的构造【易错提醒】求数列通项时没有进行分类讨论
3、. 【备考提示】数列综合题难度较大,备考中须加以深化. 2设数列满足, . 数列满足是非零整数,且对任意的正整数和自然数,都有(1)求数列和的通项公式;(2)记,求数列的前项和. 【解析】(1)由 得 又 , 数列是首项为1公比为的等比数列, , 由 得 ,由 得 , 同理可得当n为偶数时,;当n为奇数时,;当n为偶数时当n为奇数时因此当n为奇数时当n为偶数时 (2) 当n为奇数时, 当n为偶数时令 得: -得: 当n为奇数时当n为偶数时因此3(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列(1)(i)当时,求的数值;(ii)求的所有可
4、能值(2)求证:对于给定的正整数,存在一个各项及公差均不为零的等差数列,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识,考查应用分类讨论思想方法进行探索、分析及论证的能力. 解:首先证明一个“基本事实”:一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差事实上,设这个数列中的三项成等比数列,则由此得(1)(i)当时, 由于数列的公差,故由“基本事实”推知,删去的项只可能为或 若删去,则由成等比数列,得因,故由上式得,即此时数列为,满足题设若删去,则由成等比数列,得因,故由上式得,即此时数列为,满足题设综上可知,的值为或(ii)当时,则
5、由满足题设的数列中删去一项得到的数列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“基本事实”知,数列的公差必为,这与题设矛盾所以满足题设的数列的项数又因为题设,故或当时, 由(i)中的讨论知存在满足题设的数列当时, 若存在满足题设的数列,则由“基本事实”知,删去的项只能是,从而成等比数列,故,及分别化简上述两个等式,得及,故,矛盾因此,不存在满足题设的数列的项数的等差数列综上可知,只能为(2)假设对于某个正整数,存在一个公差为的项等差数列,其中三项成等比数列,这里则有,化简得 (*)由知,与或同时为0,或均不为0. 若,且,则有,即,得,从而,矛盾. 因此,与不同时为0,
6、故由(*)得因为均为非负整数,所以上式右边为有理数,从而是一个有理数. 于是,对于任意的正整数,只要取为无理数,则相应的数列就是满足题意要求的数列. 例如,取,那么,项数列满足要求4已知an是一个等差数列,且,. ()求的通项; ()求前n项和的最大值. 【试题解析】(方法一):()设的公差为,由已知条件解得,所以()所以 当时, 取得最大值(方法二):()设 ,则,. (), . 要使最大,只有使的各项非负 所以 当时, 【高考考点】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式,以及方程的思想方法. 【易错点】运算出错. 【备考提示】本题属于基础题,要加强运算确保得分5将数列中的所有项按每
7、一行比上一行多一项的规则排成下表:记表中的第一列数,构成的数列为,为数列的前项和,且满足(I)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;(II)上表中,若从第三行起,每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数. 当时,求上表中第行所有项的和. 【标准答案】(I)证明:由已知,当时,又,所以,又所以数列是首项为1,公差为的等差数列由上可知,所以当时,因此()解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且因为,所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,故在表中第31行第三列,因此 又,所以记表中第行所有项的和为,则【试题分析】:由于证明是等差数列, 必为常数,通过变形实现. 确定的准确位置是关键利用该项可以求出等比数列的公比,也为求第行所有项的和提供了依据. 【高考考点】: 等差数列的证明、等比数列的前项和. 【易错提醒】: 忽视的前提条件,在求时对的情形不讨论. 【备考提示】:陌生的问题情景、大量的信息可能使思路拥塞,要能够从所给的大量信息中分拣出最先需要的关键信息,使解决数列问题更有层次感.