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1、二二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:1 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设6分的0分两档,填空题只设9分和0分两档,其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再啬其他中间档次。2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次评分,可以5分为一个档次,不要再增加其它中间档次。一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)1、 函数f(x)=的单调递增区间是(A) (-,-1) (B) (-,1) (C) (1,+) (D) (3,+)解:由x2-2x-30x3,令f(x)=, u= x2-2x-3,故选A2、 若实
2、数x, y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 解:B3、 函数f(x)=(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解:A4、 直线椭圆相交于A,B两点,该圆上点P,使得PAB面积等于3,这样的点P共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解:设P1(4cosa,3sina) (0a),即点P1在第一象限的椭圆上,如图,考虑四边形P1AOB的面积S。S=6(sina+cosa)=xyOABP1 Smax=6 SOAB=6 3 点P不可
3、能在直线AB的上方,显然在直线AB的下方有两个点P,故选B5、 已知两个实数集合A=a1, a2, , a100与B=b1, b2, , b50,若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象,且f(a1)f(a2)f(a100),则这样的映射共有(A) (B) (C) (D) 解:不妨设b1b2b50,将A中元素a1, a2, , a100按顺序分为非空的50组,定义映射f:AB,使得第i组的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50),易知这样的f满足题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等,而A的分法数为,则这
4、样的映射共有,故选D。6、 由曲线x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1,满足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解:如图,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,则所得截面面积S1=p(42-4|y|) , S2=p(42-y2)-p4-(2-|
5、y|)2=p(42-4|y|) S1=S2由祖暅原理知,两个几何体体积相等。故远C。二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3,若它们所对应向量的夹角为60,则= 。解:由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =P9P1P2P3P4P5P6P7P8P108、 将二项式的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。解:不难求出前三项的系数分别是,当n=8时, (r=0,1,2,,8) r=0,4,8,即有3个9、 如图,点P1,P2,P10分别是四面体点或棱的中点,那么在同一平面上的四点
6、组(P1, Pi, Pj, Pk)(1ij0,所以只须求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 当时,u=,故|x|-|y|的最小值是12、 使不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是 。解:sin2x+acosx+a21+cosxa0,当cosx=1时,函数有最大值a2+a-20a-2或a1a1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x解:f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0,即a-b+c=0由得 f(1)1,由得 f(1)1f(1
7、)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 5分假设存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x取x=1时,有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0对固定的t-4,0,取x=m,有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m 10分 m=9 15分当t= -4时,对任意的x1,9,恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值为9。 20分另解:f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0,即a-b+c=0由得 f(1)1,由得 f(1)1f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 5分 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20当x1,m时,恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+