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1、考点十四空间中的平行与垂直关系一、选择题1已知平面平面,若两条直线m,n分别在平面,内,则m,n的关系不可能是()A平行 B相交 C异面 D平行或异面答案B解析由,知.又m,n,故mn.故选B.2设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案B解析可以通过观察正方体ABCDA1B1C1D1进行判断,取直线BC1为直线m,平面ABCD为平面,由AB,CD均与m垂直知,A错误;由直线D1C1与直线m垂直且与平面平行知,C错误;由平面ADD1A1与
2、直线m平行且与平面垂直知,D错误故选B.3(2020山东滨州三模)已知m,n为两条不同的直线,为三个不同的平面,则下列命题正确的是()A若m,n,则mnB若,且m,则mC若m,n,m,n,则D若m,n,则mn答案B解析对于A,若m,n,则mn或m与n是异面直线或m与n相交,故A错误;对于B,若,且m,不妨取交线m上一点P,作平面的垂线为l,因为l,且点P,故l,同理可得l,故l与m是同一条直线,因为l,故m,故B正确;对于C,只有当m与n是相交直线时,若m,n,m,n,才会有,故C错误;对于D,若m,n,则m与n的关系不确定,故D错误故选B.4在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是四边形A
3、BCD的中心,关于直线A1O,下列说法正确的是()AA1ODC BA1OBCCA1O平面B1CD1 DA1O平面ABD答案C解析显然A1O与DC是异面直线,故A错误;假设A1OBC,结合A1ABC可得BC平面A1ACC1,则可得BCAC,显然不正确,故假设错误,即B错误;在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是四边形ABCD的中心,A1DB1C,ODB1D1,A1DDOD,B1D1B1CB1,平面A1DO平面B1CD1,A1O平面A1DO,A1O平面B1CD1,故C正确;又A1A平面ABD,过一点作平面ABD的垂线有且只有一条,故D错误故选C.5(2020吉林东北师大附中第四次模拟)给定下列
4、四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析对于,由面面平行的判定可知,若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,故错误;对于,由面面垂直的判定可知,若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直,故正确;对于,同一平面中垂直于同一直线的两条直线相互平行,空间中垂直于同一直线的两条直线还可以相交或者异面,故错误;
5、对于,若一个平面内存在一条直线垂直于另一平面,由线面垂直的性质可知,该直线必垂直于两平面的交线,所以若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故正确故选B.6(2020山东青岛一模)已知四棱锥PABCD的所有棱长均相等,点E,F分别在线段PA,PC上,且EF底面ABCD,则异面直线EF与PB所成角的大小为()A30 B45 C60 D90答案D解析如图,连接AC,BD,设ACBDO,由EF平面PAC,平面PAC平面ABCDAC,EF底面ABCD,可得EFAC,由四边形ABCD为菱形,可得ACBD,由O为AC的中点,PAPC,可得POAC,又BDPOO,BD平面
6、PBD,PO平面PBD,可得AC平面PBD,又PB平面PBD,则ACPB,又EFAC,可得EFPB,即异面直线EF与PB所成角的大小为90.故选D.7(多选)(2020山东菏泽高三联考)如图,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,下列命题中的真命题是()A过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交B过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直C过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交D过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行答案ABD解析直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两条异面直线中的任何一条上,如图所示,取C1C的中点N,则MNA
7、B,且MNAB,设BN与B1C1交于点H,则点A,B,M,N,H共面,直线HM必与直线AB相交于某点O.所以过M点有且只有一条直线HO与直线AB,B1C1都相交,故A正确;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直,此垂线就是棱DD1,故B正确;过M点有无数个平面与直线AB,B1C1都相交,故C不正确;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行,此平面就是过M点与正方体的上、下底都平行的平面,故D正确故选ABD.8(多选)(2020山东临沂一模)如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将ADE沿AE翻折成SAE,在翻折过程中,下列说法正确的是()A存在点E和某一翻折位
8、置,使得SBSEB存在点E和某一翻折位置,使得AE平面SBCC存在点E和某一翻折位置,使得直线SB与平面ABC所成的角为45D存在点E和某一翻折位置,使得二面角SABC的大小为60答案ACD解析当SECE时,SEAB,又SESA,故SE平面SAB,故SESB,A正确;若AE平面SBC,因为AE平面ABC,平面ABC平面SBCBC,则AECB,这与已知条件矛盾,故B错误;如图所示,作DFAE交BC于点F,交AE于点G,S在平面ABCE内的投影O在GF上,连接BO,故SBO为直线SB与平面ABC所成的角,设二面角SAEB的平面角为,取AD4,DE3,故AEDF5,CEBF1,DG,OGcos,OF
9、cos,故要使直线SB与平面ABC所成的角为45,只需满足SOOBsin,在OFB中,由余弦定理,得21222cosOFB,解得cos,故C正确;如图,过点O作OMAB交AB于点M,连接SM,则SMO为二面角SABC的平面角,取二面角SAEB的平面角为60,故只需满足DG2GO2OM,设OAGOAM,则DAG2,AG,化简得到2tantan21,解得tan,验证满足题意,故D正确故选ACD.二、填空题9(2020北京延庆期中)已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.当满足条件_时,m.答案解析由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时,此直线也垂直于另一个平面,结合所给的选项,故由可推出m
10、.即是m的充分条件10(2020山东德州4月模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是底面ABCD上(含边界)一动点,满足A1PEF,则线段A1P长度的最小值为_答案解析如图所示,连接A1D,AD1,易知EFAD1,A1DAD1,故EFA1D,又A1PEF,故EF平面A1DP,故EFDP,又CC1DP,故DP平面BCC1B1,故P在线段CD上,故线段A1P长度的最小值为A1D.11已知四边形ABCD是矩形,AB4,AD3.沿AC将ADC折起到ADC,使平面ADC平面ABC,F是AD的中点,E是AC上一点,给出下列结论:存在点E,使得EF平
11、面BCD;存在点E,使得EF平面ABC;存在点E,使得DE平面ABC;存在点E,使得AC平面BDE.其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号)答案解析对于,存在AC的中点E,使得EFCD,利用线面平行的判定定理可得EF平面BCD;对于,过点F作EFAC,垂足为E,利用面面垂直的性质定理可得EF平面ABC;对于,过点D作DEAC,垂足为E,利用面面垂直的性质定理可得DE平面ABC;对于,因为四边形ABCD是矩形,AB4,AD3,所以B,D在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC平面BDE.12(2020山东泰安高三五模)已知圆锥的顶点为S,顶点S在底面的射影为O,轴截面SAB是边长为
12、2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为_,点D为母线SB的中点,点C为弧的中点,则异面直线CD与SO所成角的正切值为_答案2解析如图,因为轴截面SAB是边长为2的等边三角形,所以底面圆的半径为1,母线长为2,所以圆锥的侧面积为S122.作DEAB于E,则DE底面圆,又SO底面圆,所以DESO,所以CDE为异面直线CD与SO所成的角因为D为母线SB的中点,所以DESO,又EC ,所以tanCDE,所以异面直线CD与SO所成角的正切值为.三、解答题13(2020全国卷)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DEED1,BF2FB1.(1)证明:点C1在平面AE
13、F内;(2)若AB2,AD1,AA13,求二面角AEFA1的正弦值解(1)证明:在棱CC1上取点G,使得C1GCG,连接DG,FG,C1E,C1F,C1GCG,BF2FB1,CGCC1BB1BF且CGBF,四边形BCGF为平行四边形,BCGF且BCGF,又在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADBC且ADBC,ADGF且ADGF.四边形ADGF为平行四边形AFDG且AFDG.同理可证四边形DEC1G为平行四边形,C1EDG且C1EDG,C1EAF且C1EAF,四边形AEC1F为平行四边形,因此,点C1在平面AEF内(2)以点C1为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz,则A(2,1,3),A1(2,1,0),E(2,0,2),F(0,1,1),(0,1,1),(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1),设平面AEF的法向量为m(x1,y1,z1),由得取z11,得x1y11,则m(1,1,1)设平面A1EF的法向量为n(x2,y2,z2),由得取z22,得x21,y24,则n(1,4,2),cosm,n.设二面角AEFA1的平面角为,则|cos|,sin.因此,二面角AEFA1的正弦值为.14(2020山东师