华南理工大学高等数学统考卷下08届.doc
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1、高等数学下册试卷200971姓名: 学院与专业: 学号: 一、 填空题共24分1、4分函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件(填必要、充分或充要),又是它在该点有方向导数的 充分 条件(填必要、充分或充要)2、4分向量场的散度为.向量场的旋度为.3、4分 设有连续偏导数,则4、4分 交换二次积分的积分次序5、4分设曲面为柱面介于平面与部分的外侧,则曲面积分 0 ,6、设,则它有极小值二、 8分 设,求解:两边取微分,得从而,三、 7分 设长方形的长、宽、高满足,求体积最小的长方体。解:令则,从而再由即约束条件,可得,从而由问题的实际意义可知,当体积最小长方体的长、宽、高均为3。四、
2、 7分 求球面含在圆柱面内部的那部分面积解:上半球面的部分为五、 7分 计算三重积分,其中.是由单位球面围成的闭区域解:由对称性从而六、 7分计算曲面积分,其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧解:取上侧则原式 七7分 计算曲线积分,其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。解:由于,从而只要路径不经过直线,该曲线积分就与路径无关取路径,八、 7分求微分方程的通解解:,九、 7分计算满足下述方程的可导函数,解:原方程两端求导得即,这是标准的一阶线性微分方程原方程令得,代入通解得,从而十、 6分(非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设且,试根据的值判定级数的敛散性解:,从而当,即时,级数
3、收敛;当,即时,该级数发散十一、 6分(非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,试将函数展开成傅立叶级数解:,(奇函数在对称区间上积分)从而十二、 7分(非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设,证明:满足微分方程,并求解:从而而且解初值问题,通解为,由初值条件:,十、 6分(化工类做,即不学级数一章的同学做)求解初值问题解:方程对应的齐次方程为,它的特征方程为,特征根为,从而对应通解为容易看出的一个特解为,因此原方程的通解为从而,由初值条件可得。因此十一、 6分(化工类做,即不学级数一章的同学做)设是曲线在点处的切向量,求函数在该点沿的方向导数解:方程组两端对求导,得把代入得,解得,于是在点处的切向量为,单位切向量为所求方向导数为十二、 7(化工类做,即不学级数一章的同学做)给定曲面为常数,其中有连续偏导数,证明曲面的切平面通过一个定点证:令,则从而曲面在点处的切平面为,其中为动点。显然时成立,故切平面均过。证毕20cdcbda7dde3e62a4aa7e330d319118.doc共6页第6页
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