2020版高考总复习数学理科知识点(北师大版)第十三章选考部分.docx
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1、 第第 1 节节 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第第 1 课时课时 坐标系坐标系 最新考纲 1.了解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 知 识 梳 理 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 :xx(0),yy(0)的作用下,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内
2、取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴.平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(,)称为点 M 的极坐标. 称为点 M 的极径, 称为点M 的极角.一般认为 0.当极角 的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)(0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径 0,极角 可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面上的一点, 它的直角
3、坐标为(x, y), 极坐标为(, ).由图可知下面的关系式成立: xcos ,ysin 或2x2y2,tan yx(x0), 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 r(02) 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 2rcos_ 22 圆心为r,2,半径为 r 的圆 2rsin_ (0) 过极点,倾斜角为 的直线 (R) 或 (R) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 cos_a 22 过点a,2,与极轴平行的直线 sin_a (00),yy(0)的作用下的变换方程的求法是将xx,yy代入 yf(x),得yfx,整理之后
4、得到 yh(x),即为所求变换之后的方程 易错警示 应用伸缩变换时,要分清变换前的点坐标(x,y)与变换后的点坐标(x,y) 【训练 1】 在同一坐标系中,求将曲线 y12sin 3x 变为曲线 ysin x 的伸缩变换公式. 解 将曲线 y12sin 3x经过伸缩变换变为 ysin x,即 ysin x, 设伸缩变换公式是xx,yy(0,0), 把伸缩变换关系式代入式得:ysin x 与式的系数对应相等得到2,3, 所以,变换公式为x3x,y2y. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 【例 2】 (2019德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种
5、坐标系中的长度单位相同,曲线 C 的参数方程为x1 2cos ,y1 2sin ( 为参数),直线 l 过点(1,0),且斜率为12,射线 OM 的极坐标方程为 34. (1)求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程; (2)已知射线 OM 与曲线 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,则线段 PQ 的长. 解 (1)曲线 C 的参数方程为x1 2cos ,y1 2sin ( 为参数), 曲线 C 的普通方程为(x1)2(y1)22, 将 xcos ,ysin 代入整理得 2cos 2sin 0, 即曲线 C 的极坐标方程为 2 2sin4. 直线 l 过点(1,0),且斜率为12, 直
6、线 l 的方程为 y12(x1), 直线 l 的极坐标方程为 cos 2sin 10. (2)当 34时,|OP|2 2sin3442 2, |OQ|12222223, 故线段 PQ 的长为 2 2235 23. 规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;xcos ,ysin ,2x2y2,tan yx(x0) 2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意 , 的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧. 【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点
7、 A 的极坐标为2,4,直线的极坐标方程为 cos4a,且点 A 在直线上,求a 的值及直线的直角坐标方程. (2)把曲线 C1:x2y28x10y160 化为极坐标方程. 解 (1)点 A2,4在直线 cos4a 上, a 2cos44 2, 所以直线的方程可化为 cos sin 2, 从而直线的直角坐标方程为 xy20. (2)将xcos ,ysin 代入 x2y28x10y160, 得 28cos 10sin 160, 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. 考点三 曲线极坐标方程的应用 【例 31】 (2019太原二模)点 P 是曲线 C1:(x2)2y24 上的动
8、点,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 以极点 O 为中点, 将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q,设点 Q 的轨迹为曲线 C2. (1)求曲线 C1,C2的极坐标方程; (2)射线 3(0)与曲线 C1,C2分别交于 A,B 两点,定点 M(2,0),求MAB 的面积. 解 (1)由曲线 C1的直角坐标方程(x2)2y24 可得曲线 C1的极坐标方程为 4cos . 设 Q(,),则 P,2, 则有 4cos 24sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 4sin . (2)M 到射线 3(0)的距离 d2sin 3 3, |AB|BA4sin 3cos 32( 3
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