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1、 导数中极值问题 考点一.求函数的极值点 1.设函数22( )ln2,f xxxaxa aR=+,求函数( )f x的极值点 考点二.已知函数的极值点情况求参数范围 1.已知函数( )(0)xkxf xekkx+=在( 3,2 2)上存在极值点,则k的范围为_. 2. 已知函数( )(ln )xef xa xxx=在(0,1)内有极值,则实数a的范围为_. 3. 已知函数22( )ln(0)xaef xx axx=在(0,2)内有两个极值点,则实数a的范围为_. 4. 已知函数321( )43f xxaxxb=+在( 1,1)内有且只有一个极值点,则实数a的范围为_. 5.已知Rm,112)
2、1(3)(23+=mxxmxxf. (1)若)(xf在区间()3 , 0上无极值点,实数m的值为_. (2)若存在()3 , 00 x,使得)(0 xf是)(xf在3 , 0上的最值,实数m的取值范围为_. 考点三.已知函数极值求参数的值 1. 已知函数21( )() (0)kxf xexxkk=+,是否存在实数k,使得函数( )f x的极大值为23e?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由. 2.设函数 f(x)=ax2+ex(aR)有且仅有两个极值点 x1,x2(x1x2) (1) 求实数 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 a 满足 f(x1)=231e x?如存在,求 f(x)的极
3、大值;如不存在,请说明理由 3.已知函数223)(abxaxxxf+=在1=x处有极值10,则=+ba_. 变式 1:已知函数( )4322f xxaxxb=+,其中, a bR若函数( )f x仅在0 x =处有极值,则a的取值范围是 . 来源:Z+xx+k.Com 变式 2:已知函数dcxxxxf+=24641)(既有极大值又有极小值,实数c的取值范围是_. 变式 3:若1=x是定义在 R 上的函数 f(x)极小值点,且 f (x)=(x-1)(x2-ax+2), 则 a 的取值范围为_. 变式 4: 设函数2( )(2) ()xf xxxb e=+, 若2x=是( )f x的一个极大值点
4、, 则实数b的取值范围为_. 变式 5:下列关于函数xexxxf)2()(2=的判断正确的是_. 0)(xf的解集是()2 , 0; )2(f是极小值,)2(f是极大值; )(xf没有最小值,也没有最大值. 变式 6:对于函数1)(23+=xaxxxf的极值情况,4 位同学有下列说法: 甲:该函数必有 2 个极值; 乙:该函数的极大值必大于 1 丙:该函数的极小值必小于 1; 丁:方程0)(=xf一定有 3 个不等的实数根 这四种说法中,正确的个数为_ 4.已知函数2)()(bxaxxf=,ba,为常数. (1)若ba , 求证:函数)(xf存在极大值和极小值; (2)设(1)中)(xf取得极
5、大值、极小值时自变量的分别为12,x x,令点)(,(11xfxA,)(,(22xfxB,如果直线AB的斜率为12,求函数)(xf和)(xf 的公共递减区间的长度; (3)若)()(xfmxxf对于一切Rx 恒成立,求实数bam ,满足的条件. 5.5. 已知函数( )( )ln,f xxax g xex aR=(e是自然对数的底数) 设( )( )( ),1,H xf xg xxe=, 若( )H x在定义域上有极值点 (极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) ,求实数a的取值范围. 考点四考点四. . 利用利用极值证明不等式极值证明不等式问题问题 1.1. 已知函数( )()2ln1x
6、f xx=,设函数( )f x在()0,1上的极值点为0 x,求证: ()02f x . 2.2.已知函数( )()()2ln1f xaxxxaR=恰有两个极值点12,x x,且12xx. (1)求实数a的取值范围; (2)若不等式12lnln1xx+ +恒成立,求实数的取值范围. 3.3. 已知函数( )()2ln1.f xxmxmR=令( )( )g xxf x=, 区间1522,Dee=, e为自然对数的底数。 ()若函数( )g x在区间D上有两个极值,求实数m的取值范围; ()设函数( )g x在区间D上的两个极值分别为( )1g x和()2g x,求证: 12x xe. 4.4.设
7、函数3( )(1)f xxaxb=,Rx,其中Rba,若)(xf存在极值点0 x,且)()(01xfxf=,其中01xx ,求证:1023xx+=; 巩固练习 1.已知函数f(x)= xbx,g(x)= 2 lna x (3)若1b =,函数( )G x=f(x)+ g(x),且 G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1103,求( )()12G xG x的最小值 2. 已知函数2( )ln , ( )f xxx g xxax= (1)求函数( )f x在区间,1 (0)t tt+上的最小值( )m t; (2)令1122( )( )( ), ( , ( ), (, ()h xg xf x A x h xB x h x=12()xx是函数( )h x图象上任意两点,且满足1212( )()1,h xh xxx求实数a的取值范围; (3)若(0,1x ,使( )( )ag xf xx成立,求实数a的最大值 3. 已知函数( )xexf xe=(e为自然对数的底数) 若存在不等实数1x,2x,使得12( )()f xf x=,证明:12()02xxf+ 4. 已知函数2( )ln ,( ,)f xaxbxx a bR=+.当1,3ab=时,记函数( )f x的导函数( )fx的两个零点是1x和2x(12xx) ,求证:123( )()ln24f xf x.