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1、国际数学竞赛题071. 设n为大于1的整数,全部正因数为d1,d2,.,dk, 其中1=d1 d2 . dk=n, 记D=d1d2+d2d3+.+dk-1dk. a. 求证:D n2; b. 确定所有的n,使得D能整除n2. 2. 找出所有从实数集R到R的函数f,使得对所有x,y,zR,有(f(x)+f(z)(f(y)+f(t)=f(xy-zt)+f(xt+yz). 3. 求全部的正整数对(a,b),使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数.4. 设A是集合S=1, 2, 3, ., 1000000的一个101元子集,求证: 存在S中的100个元素T1 ,T2 ,.,T100 使得集合Aj=
2、X+Tj | X 属于 A (j=1,2,.,100)是两两不交的. 5. 设1,2,.,n是平面上半径为1的圆,其中n3,记他们的圆心分别为O1,O2,.,On. 假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切, 求证:i= 3. t_1, t_2, ., t_n 0 满足n2 + 1 (t_1 + t_2 + . + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + . + 1/t_n) 证明t_1, t_2, ., t_n中随便取3个数都能构成一个三角10. ABC 为锐角三角形,AB AC;以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为O. BAC和MON的角平分线交于R. 求证BMR
3、的外接圆和CNR的外接圆有一个公共点在BC边上.11. 求所有的实系数多项式f,使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有f(ab) + f(bc) + f(ca) = 2f(a + b + c).12. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”(图传不上:3 X 3 的去掉中心块和一边上连续的两块,包括由此图经旋转、反射得到的图形). 定出所有的能被钩覆盖的mn的矩形.13. 称一个正整数为“交替的”,如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所有的正整数n,n的某个倍数是交替的.14. 设p是一个素数,求证存在一个素数q使得对每个整数n,np-p不能被q整
4、除.15. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分ABC和CDA. ABCD内一点P满足PBC = DBA和PDC = BDA. 求证:ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.16. 等边三角形ABC各边上的六个点A1,A2(BC),B1,B2(CA),C1,C2(AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.17. 整数数列a1,a2,中有无穷多个正项及无穷多个负项.已知,对每个正整数n,数a1,a2,an除以n所得到的余数互不相同.证明:每个整数在数列a1,a2,中都出现且只出现一次. 18.试求与无穷数列an=2n+3n
5、+6n1(n1)的一切项均互素的所有正整数.19. x,y,z为正数且xyz1.求证:(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)0. 20.取定凸四边形ABCD,其中BC=DA,BC与DA不平行.动点E,F分别在线段BC,DA上且满足BE=DF.直线AC与BD交于P, BD与EF交于Q, EF与AC交于R.求证:当E,F变动时,所有三角形PQR的外接圆周除了P外还有一个公共点.21.一次数学竞赛共给出6道题.已知,每两题均被多于2/5的选手同时解出,但无一人解出所有6道题.证明:至少有两人各解出5道题.22. 一个棱柱的上底
6、和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 .这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色.又已知每个边都被着色的三角形(其顶点即这个棱柱的顶点)必有两边着不同色,求证:上、下底的十条边都被染上了同一种颜色. 23. 平面上的两个圆相交,A是其中一个交点.现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度,同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动,在绕过一周之后这两点又同时回到了A点.求证:在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等. 24.给定一平面k,在这个平面上有一点P,平面外有一点Q,试找出平面k上的所有的点R使得(QP +
7、PR)/QR 为最大值. 25. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点,一只青蛙从A点开始跳动,除了E点外,从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个.当它跳到E点时就停止运动.设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数,求证: a2n-1 = 0 a2n = (2 + 2)n-1/2 - (2 - 2)n-1/2.26. 取r满足1 = r = n,并考虑集合1, 2, . , n的所有r元子集,每个子集都有一个最小元素.设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值.求证:F(n,r) = (n+1)/(r+1).27. P是三角形ABC内部一点,D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足.试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点. 28.设m、n是属于1, 2, . , 1981的整数并且满足(n2 - mn - m2)2 = 1.试计算m2 +n2的最大值.